（17）（本小题满分 13 分，（I）小问 9分，（II）…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（I）由题意知 $n=10$，首先计算样本平均数：
$$ \bar{x} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{80}{10} = 8 $$
$$ \bar{y} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10} y_i = \frac{20}{10} = 2 $$

根据最小二乘法公式计算回归系数 $\hat{b}$：
$$ \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2} $$
代入已知数据 $\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 184$，$\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 720$：
$$ \hat{b} = \frac{184 - 10 \times 8 \times 2}{720 - 10 \times 8^2} = \frac{184 - 160}{720 - 640} = \frac{24}{80} = 0.3 $$

计算 $\hat{a}$：
$$ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} = 2 - 0.3 \times 8 = 2 - 2.4 = -0.4 $$

故所求线性回归方程为 $y = 0.3x - 0.4$。

（II）由（I）可知，回归直线的斜率 $\hat{b} = 0.3 > 0$。
因为斜率为正，说明变量 $y$ 随变量 $x$ 的增加而增加，所以变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关。

（III）将 $x=7$ 代入回归方程 $y = 0.3x - 0.4$ 中：
$$ y = 0.3 \times 7 - 0.4 = 2.1 - 0.4 = 1.7 $$
即预测该家庭的月储蓄为 1.7 千元。