高考数学概率统计真题及答案解析

15.（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设 $\hat { \boldsymbol { p } }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

（ii）已知该工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若 $X \sim B \left( 1 0 0 , \hat { p } \right)$ ，求E(X)和D(X).

15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

①求第一四分位数和中位数；

②设 $\hat { p }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若X\~B(100,p)，求E(X)和 D(X).

13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球,若有放回地取三次，则三次都没取到黄球的概率为 ;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是

6． 甲、乙、丙、丁等8人分成 $A, B$ 两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案

12.已知 $( 1 - 2 x ) ^ { 4 } = a _ { 0 } - 2 a _ { 1 } x + 4 a _ { 2 } x ^ { 2 } - 8 a _ { 3 } x ^ { 3 } + 1 6 a _ { 4 } x ^ { 4 }$ ,则 $a _ { 0 } =$ $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } =$

18．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率。

（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p$
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设 $X$ 为这 2 名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$ 的概率及 $X$ 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，判断 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小（结论不要求证明）．

4. 在二项式 $( 2 x - 1 ) ^ { 5 }$ 的展开式中， $x ^ { 3 }$ 的系数为

6. 已知随机变量X的分布为 $\left( { \begin{array} { l l l } { 5 } & { 6 } & { 7 } \\ { 0 . 2 } & { 0 . 3 } & { 0 . 5 } \end{array} } \right)$ ,则期望 $E [ X ] =$

9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有$\_$种.

17.2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>206.78</td><td rowspan=1 colspan=1>207.46</td><td rowspan=1 colspan=1>207.95</td><td rowspan=1 colspan=1>209.34</td><td rowspan=1 colspan=1>209.35</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>210.68</td><td rowspan=1 colspan=1>213.73</td><td rowspan=1 colspan=1>214.84</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td></tr></table>

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ${ \boldsymbol { y } } = - 0 . 3 1 1 { \boldsymbol { x } } + { \boldsymbol { \hat { b } } }$ ,年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).

6．已知随机变量 X 的分布为 $\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{array}\right)$ ，则期望 $E[X]=$ $\_\_\_\_$。．

9.4 个家长和2个儿童去爬山．6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 $\_\_\_\_$种。

13．已知事件 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 相互独立，事件 A 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$ ，事件 B 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P(A \cap B)$ 为（）

13． 小桐操场跑圈，一周 2 次，一次 5 圈或 6 圈。第一次跑 5 圈 6 或 6 圈的概率均为 0.5 ，若第一次跑 5 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.4 ， 6 圈的概率为 0.6 ；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6 ， 4 圈子的概率为 0.4 ．小桐一周跑 11 圈的概率为 $\_\_\_\_$；若一周至少跑11圈为动量达标，则连结跑4财，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$。

5．下列说法中错误的是（ ）

14．一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 $X$ ，则 $E(X)=$ $\_\_\_\_$．

1.2，8，14，16，20平均数为（）

19. （17分）

甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p ( \frac { 1 } { 2 } < p < 1 )$ 乙胜的概率为 $q \ , p + q = 1$ ，且各球胜负独立。对正整数 $k \geq 2$ ，记 $p _ { k }$ 为打完k个球后，甲比乙至少多得2分的概率， $q _ { k }$ 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

（1）求 $p _ { 3 } , p _ { 4 }$ (用p表示);

(2) 若 ${ \frac { p _ { 4 } - p _ { 3 } } { q _ { 4 } - q _ { 3 } } } = 4$ ，求p；

（3）证明：对任意正整数m， $p _ { 2 m + 1 } - q _ { 2 m + 1 } < p _ { 2 m } - q _ { 2 m } < p _ { 2 m + 2 } - q _ { 2 m + 2 } .$

7. 记水的质量为 $d = \frac { S - 1 } { \ln n }$ ，并且 d越大，水质量越好．若S不变，且 $d _ { \mathrm { 1 } } = 2 . 1$ $d _ { 2 } = 2 . 2$ ，则 $n _ { 1 }$ 与 $n _ { 2 }$ 的关 系为（ ）

4．$(x-\sqrt{x})^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为

18．已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元

在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $X$ ，估计 $X$ 的数学期望；

（ii）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4 \%$ ，已赔偿过的增加 $20 \%$ 。估计保单下一保险期毛利润的数学期望。

21．设集合 $M=\{(i, j, s, t)|i \in\{1,2\}, j \in\{3,4\}, s \in\{5,6\}, t \in\{7,8\}, 2|(i+j+s+t)\}$ ．对于给定有穷数列 $A:\left\{a_{n}\right\}(1 \leq n \leq 8)$ ，及序列 $\Omega: \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{s}, \omega_{k}=\left(i_{k}, j_{k}, s_{k}, t_{k}\right) \in M$ ，定义变换 $T:$ 将数列 A 的第 $i_{1}, j_{1}, s_{1}, t_{1}$ 项加 1 ，得到数列 $T_{1}(A)$ ；将数列 $T_{1}(A)$ 的第 $i_{2}, j_{2}, s_{2}, t_{2}$ 列加1，得到数列 $T_{2} T_{1}(A) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T_{s} \ldots T_{2} T_{1}(A)$ ，记为 $\Omega(A)$ ．
（1）给定数列 $A: 1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$ ，写出 $\Omega(A)$ ；
（2）是否存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为 $a_{1}+2, a_{2}+6, a_{3}+4, a_{4}+2, a_{5}+8, a_{6}+2, a_{7}+4, a_{8}+4$ ，若存在，写出一个符合条件的 $\Omega$ ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+a_{7}$ 为偶数，证明：＂存在序列 $\Omega$ ，使得 $\Omega(A)$ 为常数

列＂的充要条件为＂$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}=a_{7}+a_{8}$＂．

3.</sub> _若实数x y, _{满足约束条件} $\left\{ { \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 3 \geq 0 } \\ { x - 2 y - 2 \leq 0 } \\ { 2 x + 6 y - 9 \leq 0 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = x - 5 y$ 最小值为（ ）的

5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>合格品</td><td>不合格品</td><td>总计</td></tr><tr><td>甲车间</td><td>26</td><td>24</td><td>0</td><td>50</td></tr><tr><td>乙车间</td><td>70</td><td>28</td><td>2</td><td>100</td></tr><tr><td>总计</td><td>96</td><td>52</td><td>2</td><td>150</td></tr></table>

(1) 填写如下列联表:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>非优级品</td></tr><tr><td>甲车间</td><td></td><td></td></tr><tr><td>乙车间</td><td></td><td></td></tr></table>

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99\%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p = 0.5$ ，设 $\overline{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率。如果 $\overline{p} > p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\sqrt{150} \approx 12.247$ ）

附： $K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

<table><tr><td> $P(K^{2} \geq k)$ </td><td>0.050</td><td>0.010</td><td>0.001</td></tr><tr><td>k</td><td>3.841</td><td>6.635</td><td>10.828</td></tr></table>

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

（1）填写如下列联表：

能否有 $95 \%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99 \%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p=0.5$ ，设 $\bar{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率．如果
$\bar{p}>p+1.65 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的 150 件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了 $? ~(\sqrt{150} \approx 12.247)$

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

3．下列图中，相关性系数最大的是

11．在 $\left(\frac{3}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\right)^{6}$ 的展开式中，常数项为 $\_\_\_\_$ ．

13．$A, B, C, D, E$ 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．①甲选到 A 的概率为 $\_\_\_\_$ ；已知乙选了 A活动，他再选择 $B$ 活动的概率为 $\_\_\_\_$。

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^{2}\right)$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{x}, s^{2}\right)$ ，则（ ）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$ ， $P(Z<u+\sigma) \approx 0.8413)$

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

4．某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（

14．在如图的 $4 \times 4$ 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\_\_\_\_$种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 $\_\_\_\_$。

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0<p<q$ ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x = 2.1，样本方差 $s ^ { 2 } = 0 . 0 1$ ，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布 $N \big ( 1 . 8 , 0 . 1 ^ { 2 } \big )$ ，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 $N \left( { \overline { { x } } } , s ^ { 2 } \right)$ ，则（ ）（若随机变量 Z 服从正态分布 $N { \left( u , \sigma ^ { 2 } \right) }$ $P ( Z < u + \sigma ) \approx 0 . 8 4 1 3 \ $ ）

14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为【答案】 $\frac { 1 } { 2 } \# \# 0 . 5$

4. 某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表

<table><tr><td>亩产量</td><td>[900,950)</td><td>[950,1000)</td><td>[1000,1050)</td><td>[1100,1150)</td><td>[1150,1200)</td></tr><tr><td>频数</td><td>6</td><td>12</td><td>18</td><td>24</td><td>10</td></tr></table>

据表中数据，结论中正确的是（ ）

14. 在如图的 4×4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\_$种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

<table><tr><td>11</td><td>21</td><td>31</td><td>40</td></tr><tr><td>12</td><td>22</td><td>33</td><td>42</td></tr><tr><td>13</td><td>22</td><td>33</td><td>43</td></tr><tr><td>15</td><td>24</td><td>34</td><td>44</td></tr></table>

18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同

<table><tr><td>时段</td><td colspan="20">价格变化</td></tr><tr><td>第1天到第20天</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>第21天到第40天</td><td>0</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>+</td></tr></table>

用频率估计概率

（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；

（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）