2011_daganji_old
20．（12分）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathtt { a } _ { 1 } = 0$ 且 $\frac { 1 } { 1 - \bar { \mathsf { a } } _ { \mathtt { n } + 1 } } - \frac { 1 } { 1 - \bar { \mathsf { a } } _ { \mathtt { n } } } = 1$
（Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b _ { n } = \frac { 1 - \sqrt { a _ { n + 1 } } } { \sqrt { n } }$ ，记 $s _ { n } = \sum \limits _ { k = 1 } ^ { n } b _ { k } ,$ ，证明： $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } < 1$
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】（Ⅰ）由 $\{ \frac { 1 } { 1 - \tt a _ { n } } \}$ 是公差为1的等差数列，知
$\frac { 1 } { 1 - a _ { n } } = \frac { 1 } { 1 - a _ { 1 } } + ( n - 1 ) \times 1 = n ,$ 由此能求出 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式
（Ⅱ）由 $b _ { n } = \frac { 1 - \sqrt { a _ { n + 1 } } } { \sqrt { n } } = \frac { 1 - \sqrt { \frac { n } { n + 1 } } } { \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } } ,$ ，能够证明 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } < 1$
【解答】解：（Ⅰ） $\{ \frac { 1 } { 1 - \tt a _ { n } } \}$ 是公差为1的等差数列，
$$ \frac { 1 } { 1 - a _ { n } } = \frac { 1 } { 1 - a _ { 1 } } + ( n - 1 ) \times 1 = n , $$
$$ \therefore a _ { n } = \frac { n - 1 } { n } ( n \in N ^ { \ast } ) $$
（Ⅱ） $b _ { n } = \frac { 1 - \sqrt { a _ { n + 1 } } } { \sqrt { n } } = \frac { 1 - \sqrt { \frac { n } { n + 1 } } } { \sqrt { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } } ,$
$$ \therefore S _ { \mathrm { n } } = ( { \frac { 1 } { \sqrt { 1 } } } - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ) + ( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } - { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ) + \cdots + ( { \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { n } } } } - { \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { n } + 1 } } } ) = 1 - { \frac { 1 } { \sqrt { \mathrm { n } + 1 } } } < 1 . $$
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用