（12分）已知抛物线C： y ^ 2 = 4 x 的焦点为…——2010 高考数学第 21 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题

【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C

的交点 $\mathsf { A } ( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathsf { y } _ { 1 } ) , \mathsf { B } ( \mathsf { x } _ { 2 } , \mathsf { y } _ { 2 } )$ ，根据韦达定理求得 $\mathsf { y } _ { 1 } + \mathsf { y } _ { 2 }$ 和 $\forall \ i \Psi \ i$ 的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为 $4 x _ { 2 } = y 2 ^ { 2 }$ ，依题意可知等式成立进而推断出 $\mathsf { k } _ { 1 } = \mathsf { k } _ { 2 }$

式得证

（Ⅱ）首先表示出 $\overrightarrow { \ F \mathbb { A } } \cdot \overrightarrow { \ F \mathbb { B } }$ 结果为 $\frac { 8 } { 9 }$ 求得m，进而求得 $\cdot \mathsf { y } _ { 2 } \textrm { -- } \mathsf { y } _ { 1 }$ 的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到 $x = \frac { 4 } { 3 } y - 1$ 和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得

【解答】解：（Ⅰ）抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 4 \times \textcircled{ 1 }$ 的焦点为F（1，0），

设过点K（﹣1，0）的直线L： $\mathsf { x } = \mathsf { m } \mathsf { y } - 1$

代入①，整理得

$$ y ^ { 2 } - 4 \mathsf { m y } + 4 = 0 , $$

设L与C 的交点 $\mathsf { A } ( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathsf { y } _ { 1 } ) , \mathsf { B } ( \mathsf { x } _ { 2 } , \mathsf { y } _ { 2 } )$ ，则

$$ y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 \mathsf { m } , y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 , $$

点A关于X轴的对称点D为 $( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathrm { ~ \tiny ~ - ~ } \mathsf { y } _ { 1 } )$

BD的斜率 $\cdot \mathbf { k } _ { 1 } = { \frac { \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } } { \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } } } = { \frac { 4 \pi } { \left( \pi \mathbf { y } _ { 2 } - 1 \right) \left( \pi \mathbf { y } _ { 1 } - 1 \right) } } = { \frac { 4 } { \mathbf { y } _ { 2 } - \mathbf { y } _ { 1 } } }$

BF的斜率 $k _ { 2 } { = } \frac { \mathbf { \Delta y } _ { 2 } } { \mathbf { \Delta x } _ { 2 } { - } 1 }$

要使点F在直线BD上

需 $\mathsf { k } _ { 1 } = \mathsf { k } _ { 2 }$

需 $4 ( x _ { 2 } - 1 ) = y _ { 2 } ( y _ { 2 } - y _ { 1 } )$

需 $4 x _ { 2 } = y 2 ^ { 2 }$

上式成立， $\therefore k _ { 1 } = k _ { 2 }$

∴点F在直线BD上

（Ⅱ） $\overrightarrow { \mathrm { F A } } \bullet \overrightarrow { \mathrm { F B } } = ( \mathsf { x } _ { 1 } - 1 , ~ \mathsf { y } _ { 1 } ) ( \mathsf { x } _ { 2 } - 1 , ~ \mathsf { y } _ { 2 } ) = ( \mathsf { x } _ { 1 } - 1 ) ( \mathsf { x } _ { 2 } - 1 ) + \mathsf { y } _ { 1 } \mathsf { y } _ { 2 } = ( \mathsf { m } \mathsf { y } _ { 1 } - 2 \mathsf { y } _ { 2 } ) ( \mathsf { x } _ { 2 } - 1 ) .$

）（my ﹣2）+y y =4（m²+1）﹣8m²+4=8﹣4m²= 9

∴m²= 16 m=± 4
9 3

$$ y _ { 2 } - y _ { 1 } = \sqrt { 1 6 \pi ^ { 2 } - 1 6 } = 4 \sqrt { \pi ^ { 2 } - 1 } = \frac { 4 \sqrt { 7 } } { 3 } , $$

$$ \therefore k _ { 1 } = \frac { 3 } { \sqrt { 7 } } , B D : y = \frac { 3 } { \sqrt { 7 } } ( x - 1 ) $$

易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到 $x = \frac { 4 } { 3 } y - 1$ 和到BD的距离相等，即

$$ | { \sf a } + 1 | \times \frac { 3 } { 5 } = | ( \frac { 3 } { \sqrt { 7 } } ( { \tt a } - 1 ) | \times \frac { \sqrt { 7 } } { 4 } , $$

$$ \therefore 4 | { \sf a } + 1 | = 5 | { \sf a } - 1 | , \mathrm { ~ ~ \xi ~ } - 1 < { \sf a } < 1 , $$

解得 $\mathsf { a } { = } \frac { 1 } { \mathsf { g } }$

∴半径 $r = \frac { 2 } { 3 }$

∴△BDK的内切圆M的方程为 $( x - \frac { 1 } { 9 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 4 } { 9 }$

【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想