（14分）（2013•浙江）在公差为 d 的等差数列 a_…——2013 高考数学第 19 题答案解析

解答：解：（I）由题意得 $5 a_{3} \cdot a_{1}=\left(2 a_{2}+2\right)^{2}$ ，即 $5\left(a_{1}+2 d\right) \cdot a_{1}=\left(2 a_{1}+2 d+2\right)^{2}$ ，整理得 $d^{2}-3 d-4=0$ ．解得 $d=-1$ 或 $d=4$ ．
当 $d=-1$ 时，$a_{n}=a_{1}+(n-1) d=10-(n-1)=-n+11$ 。
当 $d=4$ 时，$a_{n}=a_{1}+(n-1) d=10+4(n-1)=4 n+6$ 。
所以 $a_{n}=-n+11$ 或 $a_{n}=4 n+6$ ；
（II）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，因为 $\mathrm{d}<0$ ，由（I）得 $\mathrm{d}=-1, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-\mathrm{n}+11$ ．
则当 $n \leq 11$ 时，$\quad\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=S_{n}=-\frac{1}{2} n^{2}+\frac{21}{2} n$ 。
当 $n \geq 12$ 时，$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-S_{n}+2 S_{11}=\frac{1}{2} n^{2}-\frac{21 n}{2}+110$ ．
综上所述，

$$ \left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=\left\{\begin{array}{c} -\frac{1}{2} n^{2}+\frac{21}{2} n, n \leqslant 11 \\ \frac{1}{2} n^{2}-\frac{21}{2} n+110, n \geqslant 12 \end{array} .\right. $$

点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题。