函数 f(x)=cos 2 x+2 sin x 的最小值和…——2008 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）（2008 •海南）函数 $f(x)=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最小值和最大值分别为

A．$-3,1$
B．$-2,2$
C．$-3, \frac{3}{2}$
D．$-2, \frac{3}{2}$

【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】压轴题。
【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于 $\sin x$ 的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．
【解答】解：$\because f(x)=1-2 \sin ^{2} x+2 \sin x=-2\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{2}$ ，
∴ 当 $\sin x=\frac{1}{2}$ 时，$f_{\text {max }}(x)=\frac{3}{2}$ ，
当 $\sin x=-1$ 时，$f_{\text {min }}(x)=-3$ ．
故选C．
【点评】三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可