2008 新课标卷（旧） · 文 数学　·　真题与答案解析

1、已知集合 $M=\{x \mid(x+2)(x-1)<0\}, N=\{x \mid x+1<0\}$ ，则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}=$

2、双曲线 $\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的焦距为

3、已知复数 $z=1-i$ ，则 $\frac{z^{2}}{z-1}=$

4、设 $f(x)=x \ln x$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=2$ ，则 $x_{0}=$

5、已知平面向量 $\vec{a}=(1,-3), \vec{b}=(4,-2)$ ， $\lambda \vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $\lambda$ 是

6、右面的程序框图，如果输入三个实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的

7、已知 $a_{1}>a_{2}>a_{3}>0$ ，则使得 $\left(1-a_{i} x\right)^{2}<1(i=1,2,3)$ 都成立的 $x$ 取值范围是

8、设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=2$ ，前 n 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}=$

9、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线的充要条件是

10、点 $P(x, y)$ 在直线 $4 x$ 0 上，且满足 $-14 \leq x-y \leq 7$ ，则点 $P$ 到坐标原点距离的取值范围是

11、函数 $f(x)=\cos 2 x+2 \sin x$ 的最小值和最大值分别为（ ）

12、已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta, \alpha \cap \beta=$
$\boldsymbol{I}$ ，点 $\mathrm{A} \in \alpha, \mathrm{A} \notin \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{AB} \| \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{AC} \perp \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{m}\|\alpha, \mathrm{m}\| \beta$ ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是

13、已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$a_{3}+a_{8}=22, a_{6}=7$ ，则 $a_{5}=$ $\_\_\_\_$

14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 ，且该六棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，底面周长为 3 ，那么这个球的体积为 $\_\_\_\_$

16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： mm ），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① $\_\_\_\_$
② $\_\_\_\_$

17、（本小题满分12分）如图，$\triangle A C D$ 是等边三角形，$\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，$\angle A C B=90^{\circ}, ~ B D$交 $A C$ 于 $E, A B=2$ 。（1）求 $\cos \angle C B E$ 的值；（2）求 $A E$ 。

18、（本小题满分 12 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 $B C^{\prime}$ ，证明：$B C^{\prime}$｜｜面EFG。

19、（本小题满分 12 分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： $5,6,7,8,9,10$ 。把这 6 名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。

20、（本小题满分 12 分）已知 $\mathrm{m} \in \mathrm{R}$ ，直线 $/: m x-\left(m^{2}+1\right) y=4 m$ 和圆 C ： $x^{2}+y^{2}-8 x+4 y+16=0$ 。
（1）求直线／斜率的取值范围；
（2）直线／能否将圆C分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

21、（本小题满分 12 分）设函数 $f(x)=a x-\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $7 x-4 y-12=0$ 。（1）求 $y=f(x)$ 的解析式；（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

22、（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A ，过 A 作直线 AP 垂直直线 OM ，垂足为 P 。
（1）证明： $\mathrm{OM} \cdot \mathrm{OP}=\mathrm{OA}^{2}$ ；
②$N$ 为线段 $A P$ 上一点，直线 $N B$ 垂直直线 $O N$ ，且交圆 $O$ 于 $B$ 点。过 $B$ 点的切线交直线 $O N$ 于 $K$ 。证明：$\angle \mathrm{OKM}=90^{\circ}$ 。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}(\theta\right.$ 为参数 $)$ ，曲线 $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\sqrt{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）指出 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 各是什么曲线，并说明 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点的个数；
（2）若把 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 $C_{1}{ }^{\prime}, C_{2}{ }^{\prime}$ 。写出 $C_{1}{ }^{\prime}$ ， $C_{2}{ }^{\prime}$ 的参数方程。 $C_{1}{ }^{\prime}$ 与 $C_{2}{ }^{\prime}$ 公共点的个数和 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点的个数是否相同？说明你的理由。

## 2008年海南省高考数学试卷（文）