设常数 a R，集合 A= x (x-1)(x-a) ≥…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
设常数 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，集合 $\mathrm{A}=\{x \mid(x-1)(x-\mathrm{a}) \geq 0\}, ~ \mathrm{~B}=\{x \mid x \geq a-1\}$ ．若 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{R}$ ，则 a 的取值范围为 （ B ）
（A）$(-\infty, 2)$
（B）$(-\infty, 2]$
（C）$(2,+\infty)$
（D）$[2,+\infty)$

【答案】 B
【解析】方法：代值法，排除法。当 $\mathrm{a}=1$ 时， $\mathrm{A}=\mathrm{R}$ ，符合题意；当 $\mathrm{a}=2$ 时，
$\because B=[1,+\infty), A=(-\infty, 1] \cup[+\infty), 2) \therefore A \cup B=R$ ，符合题意。
综上，选B
标准解法如下：$\because B=[a-1,+\infty), A \cup B=R \therefore A \supseteq(-\infty, a-1)$
由 $(x-1)(x-a) \geq 0 \Rightarrow$ 当 $a=1$ 时，$x \in R$ ，当 $a=1$ 符合题意；当 $a>1$ 时 $x \in(-\infty, 1] \cup[a,+\infty)$ ，
$\Rightarrow 1 \geq a-1$ 解得 $1<a \leq 2$ ；当 $a<1$ 时 $x \in(-\infty, a] \cup[1,+\infty) \Rightarrow a \geq a-1 \Rightarrow a<1$ ．
综上，$a \leq 2$
选B