高考数学向量复数集合真题及答案解析

1. 已知全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{-1,0,1,3\}$，集合 $B=\{-2,0,1\}$，则 $(\complement_U A)\cup B=(\quad)$

21．已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, M=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}$ ，从 $M$ 中选取 $n$ 个不同的元素组成一个序列：$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，其中 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ 称为该序列的第 $i$ 项 $(i=1,2, \ldots, n)$ ，若该序列的相邻项 $\left(x_{i}, y_{i}\right),\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)$ 满足：$\left\{\begin{array}{l}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|=3, \\ \left|y_{i+1}-y_{i}\right|=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|=4, \\ \left|y_{i+1}-y_{i}\right|=3\end{array}(i=1,2, \ldots, n-1)\right.$ ，则称该序列为 K 列。
（1）对于第1项为 $(3,3)$ 的 K 列，写出它的第2项．
（2）设 $\Gamma$ 为 K 列，且 $\Gamma$ 中的项 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, n)$ 满足：当 $i$ 为奇数时，$x_{i} \in\{1,2,7,8\}$ ：当 $i$ 为偶数时，$x_{i} \in\{3,4,5,6\}$ 。判断（3，2），（4，4）能否同时为 $\Gamma$ 中的项，并说明理由；
（3）证明：由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 K 列。

1．已知集合 $M=\{x \mid-4<x \leq 1\}, N=\{x \mid-1<x<3\}$ ，则 $M \cup N=$

2．已知 $\frac{z}{\mathrm{i}}=\mathrm{i}-1$ ，则 $z=$ ．

5．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则＂$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$＂是＂$\vec{a}=\vec{b}$ 或 $\vec{a}=-\vec{b}$＂的（ ）条件。

10．若集合 $\left\{(x, y) \mid y=x+t\left(x^{2}-x\right), 0 \leq t \leq 1,1 \leq x \leq 2\right\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为 $d$ 、面积为 $S$ ，则（ ）

3. 若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y - 3 \geq 0 \\ x - 2y - 2 \leq 0 \\ 2x + 6y - 9 \leq 0 \end{array} \right.$ ，则 $z = x - 5y$ 的最小值为（ ）

13. $\left(\frac{1}{3} + x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是\_\_\_\_.

23. 实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ .

（1）证明： $2a^{2}+2b^{2}>a+b$ ;

(2) 证明: $\left|a-2b^{2}\right|+\left|b-2a^{2}\right|\geq6$ .

1．设 $z=5+\mathrm{i}$ ，则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$

2．集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x} \in A\}$ ，则 $\partial_{A}(A \cap B)=(\quad)$

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-5 y$ 的最小值为

9．已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$ ，则（ ）

13．$\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

15．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

1．集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}, B=\{x \mid x+1 \in A\}$ ，则 $A \cap B=$

2．设 $z=\sqrt{2} \mathrm{i}$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$, 则 $z=x-5 y$ 的最小值为（ ）

13．已知 $a>1, \frac{1}{\log _{8} a}-\frac{1}{\log _{a} 4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$

20．实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ．
（1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ；
（2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．

1．集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,3,4,5\}$ ，则 $A \cap B=$

2．设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a^{3}=b^{3}$＂是＂ $3^{a}=3^{b}$＂的

10．已知 i 是虚数单位，复数 $(\sqrt{5}+\mathrm{i}) \cdot(\sqrt{5}-2 \mathrm{i})=$ $\_\_\_\_$ ．

14．在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点，$C E=\frac{1}{2} D E, \stackrel{\operatorname{ur}}{B E}=\lambda B A+\mu B C$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\_\_\_\_$ ；若 $F$ 为线段 $B E$ 上的动点，$G$ 为 $A F$ 中点，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{D G}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

1．已知集合 $A=\left\{x \mid-5<x^{3}<5\right\}, B=\{-3,-1,0,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．若 $\frac{z}{z-1}=1+\mathrm{i}$ ，则 $z=()$

3．已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）

1．已知 $z=-1-\mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

2．已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R},|x+1|>1$ ；命题 $q: \exists x>0, x^{3}=x$ ，则

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=$（）

3. 已知向量 $\vec { a } = ( 0 , 1 ) , \vec { b } = ( 2 , x )$ ，若 $\vec { b } \perp ( \vec { b } - 4 \vec { a } )$ ，则x =（ ）

1．已知集合 $M=\{x \mid x+2 \geq 0\}, N=\{x \mid x-1<0\}$ ，则 $M \cap N=$（ ）

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(-1, \sqrt{3})$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=()$

3．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3), \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$ ，则 $|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=$（ ）

8．若 $x y \neq 0$ ，则＂$x+y=0$＂是＂$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$＂的（ ）

1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$

2．若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathrm{R}$ ，则 $a=$

4．向量 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=$（）

7．＂ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=1$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \beta=0$＂的

14．设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leq 3 \\ 3 x-2 y \leq 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$ ，设 $z=3 x+2 y$ ，则 $z$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．