2010_quanguo_old_i
7．（5分）正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { A C D } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为（）A $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算
【专题】5G：空间角
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 $\mathsf { B B } _ { 1 }$ ，上下底面中心的连线与平面AC$\mathsf { D } _ { 1 }$ 所成角，即为 $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { A C D } _ { 1 }$ 所成角，
直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为 $\mathsf { I O } _ { 1 }$ ， $\mathsf { O }$ ，设正方体的棱长等于1，则 $0 _ { 1 } 0$ 与平面 ${ \mathsf { A C D } } _ { 1 }$ 所成角就是 $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 与平面 ${ \mathsf { A C D } } _ { 1 }$ 所成角，即 $\angle 0 _ { 1 } 0 \mathsf { D } _ { 1 }$ 直角三角形 ${ \mathsf { O } } { \mathsf { O } } _ { 1 } { \mathsf { D } } _ { 1 }$ 中， $\cos \angle 0 _ { 1 } 0 0 _ { 1 } = \frac { 0 _ { 1 } 0 } { 0 0 _ { 1 } } = \frac { 1 } { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
故选：D
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面
$\mathsf { A C D } _ { 1 }$ 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题