在四棱锥Q ABCD- 中，底面ABCD是正方形，若 A…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；（2） $\frac { 2 } { 3 }$ .

【解析】

【分析】（1）取AD的中点为O，连接 $\varrho \cal O , C O$ ，可证 $\varrho O \perp$ 平面ABCD，从而得到面 $\mathcal { Q } A D \perp$ 面$A B C D$

（2）在平面 ABCD内，过O作 $O T / / C D$ ，交BC于T，则 $O T \perp A D$ ，建如图所示的空间坐标系，求出平面 $\mathcal { Q } A D$ 、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】

（1）取AD的中点为O，连接 $\varrho \cal O , C O$

因为 $Q A = Q D$ $O A = O D$ ，则 $Q O \perp A D$

而 $A D = 2 , Q A = { \sqrt { 5 } }$ ，故 $O O = { \sqrt { 5 - 1 } } = 2$

在正方形 ABCD中，因为 $A D = 2$ ，故 $D O = 1$ ，故 $C O = { \sqrt { 5 } }$

因为 $Q C = 3$ ，故 $Q C ^ { 2 } = Q O ^ { 2 } + O C ^ { 2 }$ ，故 ${ \triangle } Q O C$ 为直角三角形且 $Q O \bot O C$

因为 $O C \cap A D = O$ ，故 $\mathcal { Q } O \perp$ 平面 $A B C D$

因为 $\varrho O \subset$ 平面 $\mathcal { Q } A D$ ，故平面 $\mathcal { Q } A D \perp$ 平面 $A B C D$

（2）在平面 $A B C D$ 内，过O作 $O T / / C D$ ，交 $B C$ 于T，则 $O T \perp A D$

结合（1）中的 $Q O \bot$ 平面 $A B C D$ ，故可建如图所示的空间坐标系.

则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,−1,0)，故 $\overrightarrow { B Q } = \left( - 2 , 1 , 2 \right) , \overrightarrow { B D } = \left( - 2 , 2 , 0 \right)$

设平面QBD的法向量 $\stackrel { } { n } = ( x , y , z )$

则 $\left\{ \begin{array} { l } { { \vec { n } \cdot \overrightarrow { B Q } = 0 } } \\ { { \vec { n } \cdot \overrightarrow { B D } = 0 } } \end{array} \right.$ 即 $\left\{ { \begin{array} { l } { - 2 x + y + 2 z = 0 } \\ { - 2 x + 2 y = 0 } \end{array} } \right.$ ，取 $x = 1$ ，则 $y = 1 , z = \frac { 1 } { 2 }$

故 $\stackrel { } { n } = ( 1 , 1 , \frac { 1 } { 2 } )$

而平面 $\mathcal { Q } A D$ 的法向量为 $\stackrel { \longrightarrow } { m } = \left( 1 , 0 , 0 \right)$ ，故 $\cos { \longrightarrow } , { \stackrel { } { n } } = \frac { 1 } { 1 \times \displaystyle \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 2 } { 3 }$

二面角B QD A- - 的平面角为锐角，故其余弦值为 $\frac { 2 } { 3 }$ .