（12 分）（2008 • 四川）如，平面 ABEF 平面…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（ I ）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ，延长 FE 交 AB 的延长线于 $\mathrm{G}^{\prime}$ ，根据比例关系可证得 G 与 $\mathrm{G}^{\prime}$ 重合，准确推理，得到直线 CD 、 EF 相交于点 G ，即 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{F}, \mathrm{E}$ 四点共面。
（ II）取 AE 中点 M ，作 $\mathrm{MN} \perp \mathrm{DE}$ ，垂足为 N ，连接 BN ，由三垂线定理知 $\mathrm{BN} \perp \mathrm{ED}$ ，根据二面角平面角的定义可知 $\angle \mathrm{BMN}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{ED}-\mathrm{B}$ 的平面角，在三角形 BMN 中求出此角即可。

【解答】解：（ I ）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ，由 $\mathrm{BC}=\frac{/ /}{2} \frac{1}{\mathrm{AD}}$ 得 $\frac{\mathrm{GB}}{\mathrm{GA}}=\frac{\mathrm{GC}}{\mathrm{GD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}$
延长 FE 交 AB 的延长线于 $\mathrm{G}^{\prime}$
同理可得 $\frac{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{E}}{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{F}}=\frac{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{G}^{\prime} \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AF}}=\frac{1}{2}$
故 $\frac{G^{\prime} B}{G^{\prime} A}=\frac{G B}{G A}$ ，即 $G$ 与 $G^{\prime}$ 重合
因此直线 $\mathrm{CD} , \mathrm{EF}$ 相交于点 G ，即 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{F}, \mathrm{E}$ 四点共面．
（ II ）设 $\mathrm{AB}=1$ ，则 $\mathrm{BC}=\mathrm{BE}=1, \mathrm{AD}=2$
取 AE 中点 M ，则 $\mathrm{BM} \perp \mathrm{AE}$ ，又由已知得， $\mathrm{AD} \perp$ 平面 ABEF
故 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BM}, ~ \mathrm{BM}$ 与平面 ADE 内两相交直线 $\mathrm{AD} , \mathrm{AE}$ 都垂直．
所以 $\mathrm{BM} \perp$ 平面 ADE ，作 $\mathrm{MN} \perp \mathrm{DE}$ ，垂足为 N ，连接 BN
由三垂线定理知 $\mathrm{BN} \perp \mathrm{ED}, ~ \angle \mathrm{BMN}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{ED}-\mathrm{B}$ 的平面
角． $\mathrm{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \mathrm{MN}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{AD} \times \mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
故 $\tan \angle \mathrm{BMN}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MN}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
所以二面角 A－ED－B 的大小 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．