（5分）已知函数f ( x ) = a x ^ 3 + x…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】53：导数的综合应用

【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可

【解答】解：函数f $( \mathsf { x } ) \mathsf { \Omega } = \mathsf { a x } ^ { 3 + } \mathsf { x } ^ { + } \mathsf { 1 }$ 的导数为： ${ \textbf { f } } ^ { \prime } \left( { \textbf { x } } \right) = 3 \mathsf { a } \mathsf { x } ^ { 2 } { + } 1 , { \textbf { f } } ^ { \prime } \left( { \textbf { 1 } } \right) = 3 \mathsf { a } { + } 1$ ，而f（1）=a+2，

切线方程为： $y - a - 2 = \mathbf { \Phi } ( 3 { \mathsf { a } } + 1 ) \mathbf { \Phi } ( \mathbf { x } - 1 )$ ，因为切线方程经过（2，7），所以 $7 - { \textsf { a - 2 } } = { \left( { \ 3 } { \mathsf { a } } ^ { + } { \mathsf { 1 } } \right) } \quad { \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ - ~ 1 ~ ) ~ } }$

解得a=1

故答案为：1

【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力