2017_浙江卷
16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\scriptstyle \mathbf { b } + \mathbf { c } = 2 \operatorname { a c o s B }$
（Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若 $\triangle \mathrm { A B C }$ 的面积 ${ \mathrm { S } } { = } \frac { \mathsf { a } ^ { 2 } } { 4 } ,$ ，求角A的大小
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】余弦定理；正弦定理
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B
（Ⅱ）若 $\triangle \mathrm { A B C }$ 的面积 $\mathrm { S } { = } \frac { \mathsf { a } ^ { 2 } } { 4 } ,$ ，则 $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { b c s i n A = } \frac { \mathsf { a } ^ { 2 } } { \mathsf { 4 } } ;$ ，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明： $\because b + c = 2 \mathsf { a c o s B }$
$$ \therefore \mathrm { s i n B + s i n C = } 2 \mathrm { s i n A c o s B } , $$
$$ \therefore \sin B + \sin ( A + B ) = 2 \sin A \cos B $$
$$ \therefore \mathrm { s i n B + s i n A c o s B + c o s A s i n B = 2 s i n A c o s B } $$
$$ \therefore \mathrm { s i n B = 2 \mathrm { = } s i n A \mathrm { c o s B \mathrm { \ - \ c o s A s i n B \mathrm { = } s i n ( \mathrm { \ A \mathrm { \ - } \mathrm { \ B ) } } } } } $$
∵A，B是三角形中的角，
$$ \therefore B { = } \mathbf { A } - \mathbf { B } , $$
∴A=2B；
（Ⅱ）解： $\because \triangle \mathrm { A B C }$ 的面积 $\mathrm { S } { = } \frac { \mathsf { a } ^ { 2 } } { 4 } ,$
$$ \therefore \frac { 1 } { 2 } \mathrm { b c s i n A } = \frac { \bar { \mathbf { a } } ^ { 2 } } { 4 } , $$
$$ \therefore 2 { \mathrm { b c s i n A } } = \mathbf { a } ^ { 2 } , $$
$$ \therefore 2 \sin \mathrm { B s i n C } = \sin \mathrm { A } = \sin 2 \mathrm { B } , $$
$\therefore B + C = 9 0 ^ { \circ }$ ，或 $\mathrm { C = B + 9 0 ^ { \circ } }$
$\therefore \mathbf { A } { = } 9 0 ^ { \circ }$ 或 $_ { \mathrm { A } } { = } 4 5 ^ { \circ }$
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题