已知集合 A= x R| | x+3|+|x-4| ≤ 9…——2011 高考数学第 12 题答案解析

【答案】$\{x \mid-2 \leq x \leq 5\}$

【解答】
（5 分）（2011 • 天津）已知集合 $A=\{x \in R \| x+3|+|x-4| \leq 9\}$ ，$B= \left\{x \in R \left\lvert\, x=4 t+\frac{1}{t}-6\right., t \in(0,+\infty)\right\}$ ，则集合 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 5\}$ 。
【考点】交集及其运算．
【专题】集合。
【分析】求出集合 A ，求出集合 B ，然后利用集合的运算法则求出 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ ．
【解答】解：集合 $A=\{x \in R| | x+3|+|x-4| \leq 9\}$ ，所以 $A=\{x \mid-4 \leq x \leq 5\}$ ；
集合 $B=\left\{\left.x \in R\right|_{\left.x=4 t+\frac{1}{t}-6, t \in(0,+\infty)\right\} \text { ，}} ^{t \in(0,+\infty)}\right. 4 t+\frac{1}{t}-6 \geqslant 2 \sqrt{4 t \cdot \frac{1}{t}}-6=-2, t \in(0,+\infty)$,
当且仅当 $\mathrm{t}=\frac{1}{2}$ 时取等号，所以 $\mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \geq-2\}$ ，
所以 $A \cap B=\{x \mid-4 \leq x \leq 5\} \cap\{x \mid x \geq-2\}=\{x \mid-2 \leq x \leq 5\}$ ，
故答案为：$\{x \mid-2 \leq x \leq 5\}$ ．
【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力。