2011 天津卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

2．设 $x, y \in R$ ，则＂$x \geq 2$ 且 $y \geq 2$＂是＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂的

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $i$ 的值为

4．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，其公差为 -2 ，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，则 $S_{10}$ 的值为

5．在 $\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中，$x^{2}$ 的系数为

6．如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $A B=C D, 2 A B=\sqrt{3} B D, B C=2 B D$ ，则 $\sin C$ 的值为

7．已知 $a=5^{\log _{2} 3.4}, b=5^{\log _{4} 3.6}, c=\left(\frac{1}{5}\right)^{\log _{3} 0.3}$ ，则 A．$a>b>c$ B．$b>a>c$ C．$a>c>b$ D．$c>a>b$ 8 ．对实数 $a$ 和 $b$ ，定义运算＂$\otimes$＂：$a \otimes b=\left\{\begin{array}{l}a, a-b \leq 1, \\ b, a-b>1 \text { ．设 函 数 }\end{array}\right. f(x)=\left(x^{2}-2\right) \otimes\left(x-x^{2}\right), x \in R$ ．若函数 $y=f(x)-c$ 的图像与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是

9．一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的、 、 数为 $\_\_\_\_$

10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：$m$ ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的  直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

12．如图，已知圆中两条弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $F, E$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $D F=C F=\sqrt{2}, A F: F B: B E=4: 2: 1$ ．若 $C E$ 与圆相切，则线段 $C E$ 的长为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知集合 $A=\left\{x \in R| | x+3|+|x-4| \leq 9\}, B=\left\{x \in R \left\lvert\, x=4 t+\frac{1}{t}-6\right., t \in(0,+\infty)\right\}\right.$ ，则集合 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（本小题满分 13 分） 已知函数 $f(x)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ， （I）求 $f(x)$ 的定义域与最小正周期； （II）设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2 \cos 2 \alpha$ ，求 $\alpha$ 的大小．

16．（本小题满分 13 分） 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖。（每次游戏结束后将球放回原箱） （I）求在 1 次游戏中， （i）摸出 3 个白球的概率； （ii）获奖的概率； （II）求在 2 次游戏中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$ ．

17．（本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $H$ 是正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 的中心，$A A_{1}=2 \sqrt{2}, C_{1} H \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，且 $C_{1} H=\sqrt{5}$ ． （I）求异面直线 AC 与 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 所成角的余弦值； （II）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-B_{1}$ 的正弦值； （III）设 $N$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $M$ 在平面 $A A_{1} B_{1} B$ 内，且 $M N \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ，求线段 $B M$ 的 长． 

18．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(a, b)(a>b>0)$ 为动点，$F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点．已知 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形． （I）求椭圆的离心率 $e$ ； （II）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

19．（本小题满分 14 分） 已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln x-a x^{2}, x>0$. （ $f(x)$ 的图像连续不断） （I）求 $f(x)$ 的单调区间； （II）当 $a=\frac{1}{8}$ 时，证明：存在 $x_{0} \in(2,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ； （III）若存在均属于区间 $[1,3]$ 的 $\alpha, \beta$ ，且 $\beta-\alpha \geq 1$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ ，证明 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ ．

20．（本小题满分 14 分） 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{n} a_{n}+a_{n+1}+b_{n+1} a_{n+2}=0, b_{n}=\frac{3+(-1)^{n}}{2}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $a_{1}=2, a_{2}=4$. （I）求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值； （II）设 $c_{n}=a_{2 n-1}+a_{2 n+1}, n \in N^{*}$ ，证明：$\left\{c_{n}\right\}$ 是等比数列； （III）设 $S_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, k \in N^{*}$ ，证明：$\sum_{k=1}^{4 n} \frac{S_{k}}{a_{k}}<\frac{7}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．