（10分）在 A B C 中， cos B = - 5 1…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算

【专题】11：计算题

【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC分别求得sinB和sinC，再通过 $\sin A = \sin ( B + C )$ ，利用两角和公式，进而求得sinA

（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得 $\mathsf { A B } ^ { \bullet } \mathsf { A C }$ 的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC

【解答】解：（Ⅰ）由 $\cos B = - \frac { 5 } { 1 3 }$ ，得 $\mathrm { s i n B } = \frac { 1 2 } { 1 3 }$

由 $\cos C = \frac { 4 } { 5 }$ ，得 $\sin C = \frac { 3 } { 5 }$

所以 $\sin A = \sin ( B + C ) = \sin B \cos C + \cos B \sin C = \frac { 3 3 } { 6 5 } .$

（Ⅱ）由 $S _ { \Delta A B C } = \frac { 3 3 } { 2 } \pi = \frac { 1 } { 2 } \times A B \times A C \times \sin A = \frac { 3 3 } { 2 } ,$

由（Ⅰ）知 $\sin A = \frac { 3 3 } { 6 5 }$

故 $. A B \times A C = 6 5$

又 $\mathtt { A C } = \frac { \mathtt { A B } \times \mathtt { s i n B } } { \mathtt { s i n C } } = \frac { 2 0 } { 1 3 } \mathtt { A B } ,$

故 $\frac { 2 0 } { 1 3 } \mathrm { A B } ^ { 2 } = 6 5 , \mathrm { A B } = \frac { 1 3 } { 2 }$

所以 $B C = \frac { A B \times \sin A } { \sin C } = \frac { 1 1 } { 2 }$

【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用属基础题