【答案】① $C _ { 1 } : x + y = 4 \ ; C _ { 2 } : x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 4$ ；② $\rho = \frac { 1 7 } { 5 } \cos \theta$
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数q和t即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】①由 $\cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta = 1$ 得 $C _ { 1 }$ 的普通方程为： $x + y = 4$
由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = t + { \frac { 1 } { t } } } \\ { \displaystyle y = t - { \frac { 1 } { t } } } \end{array} } \right.$ 得： $\left\{ \begin{array} { l } { { x ^ { 2 } = t ^ { 2 } + \displaystyle \frac { 1 } { t ^ { 2 } } + 2 } } \\ { { \displaystyle y ^ { 2 } = t ^ { 2 } + \displaystyle \frac { 1 } { t ^ { 2 } } - 2 } } \end{array} \right.$ ，两式作差可得 $C _ { 2 }$ 的普通方程为： $x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 4$
> ②由 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x + y = 4 } \\ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right. }$ 得： $\left\{ { \begin{array} { l } { x = { \frac { 5 } { 2 } } } \\ { y = { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array} } \right.$ ，即 $P \left( \frac { 5 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } \right)$ •
设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中 $a > 0$
则 $\left( a - { \frac { 5 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + \left( 0 - { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 }$ ，解得： $a = { \frac { 1 7 } { 1 0 } }$ ，\所求圆的半径 $r = { \frac { 1 7 } { 1 0 } }$
$\therefore$ 所求圆的直角坐标方程为： $\left( x - { \frac { 1 7 } { 1 0 } } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \left( { \frac { 1 7 } { 1 0 } } \right) ^ { 2 }$ ，即 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = { \frac { 1 7 } { 5 } } x$
$\therefore$ 所求圆的极坐标方程为 $\rho = \frac { 1 7 } { 5 } \cos \theta$
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.