（5分）直线 x + y + 2 = 0 分别与x轴，y轴…——2018 高考数学第 6 题答案解析

【考点】J9：直线与圆的位置关系

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆

【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2）， $\left| \mathsf { A B } \right| = 2 \sqrt { 2 }$ ，设P $( 2 + \sqrt { 2 } \mathsf { c o s } \mathsf { \Theta }$ $\sqrt { 2 } \mathsf { s i n } \Theta \ )$ ，点P到直线 $x ^ { + } y ^ { + } 2 = 0$ 的距离： $\mathsf { d } = \frac { \left| 2 + \sqrt { 2 } \mathsf { c o s } \Theta + \sqrt { 2 } \mathsf { s i n } \Theta + 2 \right| } { \sqrt { 2 } } =$ $\frac { \vert 2 \sin ( \theta + \frac { \pi } { 4 } ) + 4 \vert } { \sqrt { 2 } } \in [ \sqrt { 2 } , 3 \sqrt { 2 } ]$ ，由此能求出 $\triangle \mathsf { A B P }$ 面积的取值范围

【解答】解：∵直线 $x ^ { + } y ^ { + } 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，

$\therefore \frac { \pi } { \times } x = 0$ ，得 $\cdot \ y = - \ 2$ ，令y=0，得 $\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { x } = - \mathbf { \nabla } 2$

$$ \left| \mathsf { A B } \right| = \sqrt { 4 + 4 } = 2 \sqrt { 2 } , $$

∵点P在圆 $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ 上，∴设 $\textsf { P } \left( 2 { \sqrt { 2 } } { \cos \theta } \ , \ { \sqrt { 2 } } { \sin \theta } \ \right)$

∴点P到直线 $x ^ { + } y ^ { + } 2 = 0$ 的距离：

$d = \frac { \vert 2 + \sqrt { 2 } \cos \theta + \sqrt { 2 } \sin \theta + 2 \vert } { \sqrt { 2 } } = \frac { \vert 2 \sin ( \theta + \frac { \pi } { 4 } ) + 4 \vert } { \sqrt { 2 } } ,$ $\because \sin ( \theta + \frac { \pi } { 4 } ) \in [ - 1 , 1 ]$ $\therefore \mathsf { d } = \frac { | 2 \mathsf { s i n } ( \hat { \mathsf { \boldsymbol { \Theta } } } + \frac { \pi } { 4 } ) + 4 \mathbf { \Theta } | } { \sqrt { 2 } } \mathsf { \in } [ \sqrt { 2 } , ~ 3 \sqrt { 2 } ]$

$\therefore \triangle A B P$ 面积的取值范围是：

$$ [ \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times 3 \sqrt { 2 } ] = [ 2 , 6 ] . $$

故选：A

【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题