（14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延…——2010 高考数学第 14 题答案解析

【答案】$\frac{\sqrt{6}}{6}$

【解答】
（4分）（ $2010 \bullet$ 天津）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P ，若 $\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PD}}=\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}$ 的值为 $-\frac{\sqrt{6}}{6}$－。

【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【专题】直线与圆。
【分析】由题中条件：＂四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形＂可得两角相等，进而得两个三角形相似得比例关系，最后求得比值。
【解答】解：因为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点共圆，
所以 $\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{PCB}, \angle \mathrm{CDA}=\angle \mathrm{PBC}$ ，
因为 $\angle \mathrm{P}$ 为公共角，
所以 $\triangle \mathrm{PBC} \sim \triangle \mathrm{PDA}$ ，所以 $\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}$ ．
设 $P B=x, P C=y$ ，
则有 $\frac{\mathrm{x}}{3 \mathrm{y}}=\frac{\mathrm{y}}{2 \mathrm{x}} \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt{6} \mathrm{y}}{2}$ ，
所以 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{x}}{3 \mathrm{y}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．
故填：$\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．
【点评】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。温馨提示：四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。