（14分）已知椭圆C： x ^ 2 a ^ 2 + y ^…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { k } } \ { \mathrm { ~ ( ~ } } { \mathsf { x } } - { \mathsf { 1 } } { \mathrm { ~ ) ~ } }$ 与椭圆 C 联立 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { y = k ( x - 1 ) } \\ { { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1 } \end{array} \right. }$ ，消元可得 $( \ 1 + 2 \ k ^ { 2 } \ )$ $x ^ { 2 } - 4 | k ^ { 2 } x + 2 k ^ { 2 } - 4 = 0$ ，从而可求|MN|，A（2，0）到直线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { k } } \ \left( { \mathsf { x } } - 1 \right)$ 的距离，利用 $\triangle \mathsf { A M N }$ 的面积为 $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 }$ ，可求k的值

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，

$$ \therefore \{ \frac { a = 2 } { a } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$

$$ \therefore b = \sqrt { 2 } $$

$\therefore$ 椭圆C的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$ •

（Ⅱ）直线 y=k（x﹣1）与椭圆 C 联立 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { y = k ( x - 1 ) } \\ { { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1 } \end{array} \right. }$ ，消元可得（1+2k²） x²﹣4k²x+2k²﹣4=0 设 $\textsf { \textbf { M } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ \mathbf { y } _ { 1 } ) , \ \textsf { N } ( \mathbf { x } _ { 2 } , \ \mathbf { y } _ { 2 } )$ ，则 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = { \frac { 4 \mathbf { k } ^ { 2 } } { 1 + 2 \mathbf { k } ^ { 2 } } } , \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 2 } = { \frac { 2 \mathbf { k } ^ { 2 } - 4 } { 1 + 2 \mathbf { k } ^ { 2 } } }$ $\therefore \mid \mathsf { M N } \mid = \sqrt { 1 + \mathrm { k } ^ { 2 } } \times \sqrt { ( \mathrm { x } _ { 1 } + \mathrm { x } _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \mathrm { x } _ { 1 } \mathrm { x } _ { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { ( 1 + \mathrm { k } ^ { 2 } ) ( 4 + 6 \mathrm { k } ^ { 2 } ) } } { 1 + 2 \mathrm { k } ^ { 2 } }$

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 $d = \frac { \vert k \vert } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }$
$\therefore \triangle A M N$ 的面积 $S = \frac { 1 } { 2 } \vert m \vert \cdot \vert d = \frac { \vert \mathrm { k } \vert \sqrt { 4 + 6 \mathrm { k } ^ { 2 } } } { 1 + 2 \mathrm { k } ^ { 2 } }$
$\because \triangle A M N$ 的面积为 $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 }$
$\therefore \frac { \vert \operatorname { k } \vert \sqrt { 4 + 6 \operatorname { k } ^ { 2 } } } { 1 + 2 \operatorname { k } ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 }$
$\therefore k = \pm 1 .$

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|