双曲线 C : x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b…——2021 高考数学第 5 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】分析可得 $b = { \sqrt { 3 } } a$ ，再将点 $\left( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } \right)$ 代入双曲线的方程，求出α的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】 $\because e = { \frac { c } { a } } = 2$ ，则 $c = 2 a$ $b = { \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } = { \sqrt { 3 } } a$ ，则双曲线的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 3 a ^ { 2 } } = 1$

将点 $\left( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } \right)$ 的坐标代入双曲线的方程可得 ${ \frac { 2 } { a ^ { 2 } } } - { \frac { 3 } { 3 a ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } = 1$ ，解得 $a = 1$ ，故 $b = { \sqrt { 3 } }$

因此，双曲线的方程为 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$

故选：A.