2019_新课标I卷
19.已知抛物线 $C : \ y ^ { 2 } { = } 3 x$ 的焦点为F，斜率为 $\frac { 3 } { 2 }$ 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P
(1）若 $\scriptstyle | A F | + | B F | = 4$ ，求l的方程；
(2) 若 ${ \overrightarrow { A P } } = 3 { \overrightarrow { P B } }$ ，求 $\vert A B \vert$
(1) $1 2 x - 8 y - 7 = 0$; (2) $\frac { 4 { \sqrt { 1 3 } } } { 3 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $1 2 x - 8 y - 7 = 0$ ； ② $\frac { 4 { \sqrt { 1 3 } } } { 3 }$
【解析】
【分析】
> ①设直线l： $y = \frac { 3 } { 2 } { \bf x } + \mathrm { m } , A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ；根据抛物线焦半径公式可得$x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1$ ；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；②设直线 $l : \ x = { \frac { 2 } { 3 } } y + t$ ；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 ${ \overrightarrow { A P } } = 3 { \overrightarrow { P B } }$ 可得 $y _ { 1 } = - 3 y _ { 2 }$ ，结合韦达定理可求得 $y _ { 1 } y _ { 2 }$ ；根据弦长公式可求得结果.
【详解】①设直线l方程为： $y = \frac { 3 } { 2 } { \bf x } + \mathrm { m } , A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$
由抛物线焦半径公式可知： $\left| A F \right| + \left| B F \right| = x _ { 1 } + x _ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } = 4 \quad \therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = { \frac { 5 } { 2 } }$
联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { y = { \frac { 3 } { 2 } } x + m } \\ { y ^ { 2 } = 3 x } \end{array} } \right.$ 得： $9 x ^ { 2 } + \left( 1 2 m - 1 2 \right) x + 4 m ^ { 2 } = 0$
$$ \Delta = \left( 1 2 m - 1 2 \right) ^ { 2 } - 1 4 4 m ^ { 2 } > 0 \therefore m < \frac { 1 } { 2 } $$
$\therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { \frac { 1 2 m - 1 2 } { 9 } } = { \frac { 5 } { 2 } }$ ，解得： $m = - \frac { 7 } { 8 }$
$\therefore$ 直线l的方程为： $y = \frac { 3 } { 2 } x - \frac { 7 } { 8 }$ ，即： $1 2 x - 8 y - 7 = 0$
> ②设P(t,0)，则可设直线l方程为： $x = { \frac { 2 } { 3 } } y + t$
联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = \frac { 2 } { 3 } y + t } \\ { \displaystyle y ^ { 2 } = 3 x } \end{array} } \right.$ 得： $y ^ { 2 } - 2 y - 3 t = 0$
则 $\Delta = 4 + 1 2 t > 0 \quad \therefore t > - \frac { 1 } { 3 }$
$$ \therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = 2 , y _ { 1 } y _ { 2 } = - 3 t $$
$$ \because \overrightarrow { A P } = 3 \overrightarrow { P B } \therefore y _ { 1 } = - 3 y _ { 2 } \therefore y _ { 2 } = - 1 , y _ { 1 } = 3 \quad \cdot \cdot y _ { 1 } y _ { 2 } = - 3 $$
$$ \left| A B \right| = { \sqrt { 1 + { \frac { 4 } { 9 } } } } \cdot { \sqrt { \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 y _ { 1 } y _ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 1 3 } } { 3 } } \cdot { \sqrt { 4 + 1 2 } } = { \frac { 4 { \sqrt { 1 3 } } } { 3 } } $$
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.