已知椭圆C的方程为 x ^ 2 a ^ 2 + y ^ 2…——2021 高考数学第 20 题答案解析

（1）由题意知，椭圆 $C$ 的右焦点为 $F(\sqrt{2}, 0)$，故半焦距 $c = \sqrt{2}$。
又离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，即 $\frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，解得 $a = \sqrt{3}$。
由 $b^2 = a^2 - c^2$，得 $b^2 = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$。

（2）由（1）知 $b=1$，曲线方程为 $x^2 + y^2 = 1 \ (x > 0)$，焦点 $F(\sqrt{2}, 0)$。

**必要性证明：**
若 $M, N, F$ 三点共线，则直线 $MN$ 过点 $F(\sqrt{2}, 0)$。
设直线 $MN$ 的方程为 $x = my + \sqrt{2}$（若斜率不存在，直线为 $x=\sqrt{2}$，与圆 $x^2+y^2=1$ 无交点或不相切于 $x>0$ 部分，舍去；或者设 $y=k(x-\sqrt{2})$，下文采用此设法更直观）。
设直线 $MN$ 的斜率为 $k$，方程为 $y = k(x - \sqrt{2})$，即 $kx - y - \sqrt{2}k = 0$。
因为直线 $MN$ 与圆 $x^2 + y^2 = 1 \ (x > 0)$ 相切，所以圆心 $(0,0)$ 到直线的距离等于半径 $1$：
$$ d = \frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 $$
平方得 $2k^2 = k^2 + 1$，解得 $k^2 = 1$，即 $k = \pm 1$。
此时直线方程为 $y = x - \sqrt{2}$ 或 $y = -x + \sqrt{2}$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = \pm(x - \sqrt{2}) \\ \frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \end{cases} $$
代入消去 $y$ 得：$\frac{x^2}{3} + (x - \sqrt{2})^2 = 1$，
整理得 $x^2 + 3(x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) = 3$，
即 $4x^2 - 6\sqrt{2}x + 3 = 0$。
判别式 $\Delta = (-6\sqrt{2})^2 - 4 \times 4 \times 3 = 72 - 48 = 24 > 0$。
设 $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2)$，则 $x_1 + x_2 = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_1 x_2 = \frac{3}{4}$。
弦长 $|MN| = \sqrt{1+k^2}|x_1 - x_2| = \sqrt{1+1} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$
$$ |MN| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 \times \frac{3}{4}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{18}{4} - 3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3} $$
故必要性成立。

**充分性证明：**
设直线 $MN$ 的方程为 $y = kx + m$。
因为直线 $MN$ 与圆 $x^2 + y^2 = 1 \ (x > 0)$ 相切，
所以 $\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}} = 1$，即 $m^2 = k^2 + 1$。
且切点横坐标 $x_0 > 0$。由几何关系，切点处法线斜率为 $-1/k$（若 $k \neq 0$），或直接利用切点公式。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = kx + m \\ \frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \end{cases} $$
消去 $y$ 得：$x^2 + 3(kx+m)^2 = 3$，
即 $(1+3k^2)x^2 + 6kmx + 3m^2 - 3 = 0$。
由 $m^2 = k^2+1$，常数项 $3m^2 - 3 = 3(k^2+1) - 3 = 3k^2$。
方程化为 $(1+3k^2)x^2 + 6kmx + 3k^2 = 0$。
判别式 $\Delta = (6km)^2 - 4(1+3k^2)(3k^2) = 36k^2m^2 - 12k^2(1+3k^2)$
代入 $m^2 = k^2+1$：
$\Delta = 36k^2(k^2+1) - 12k^2 - 36k^4 = 36k^4 + 36k^2 - 12k^2 - 36k^4 = 24k^2$。
要使直线与椭圆有两个交点，需 $\Delta > 0$，即 $k \neq 0$。
设 $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2)$，则
$x_1 + x_2 = -\frac{6km}{1+3k^2}$，$x_1 x_2 = \frac{3k^2}{1+3k^2}$。
弦长 $|MN| = \sqrt{1+k^2} |x_1 - x_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{1+3k^2} = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{24k^2}}{1+3k^2}$。
已知 $|MN| = \sqrt{3}$，则：
$$ \sqrt{1+k^2} \frac{2\sqrt{6}|k|}{1+3k^2} = \sqrt{3} $$
两边平方：
$$ (1+k^2) \frac{24k^2}{(1+3k^2)^2} = 3 $$
$$ 8k^2(1+k^2) = (1+3k^2)^2 $$
$$ 8k^2 + 8k^4 = 1 + 6k^2 + 9k^4 $$
$$ k^4 - 2k^2 + 1 = 0 $$
$$ (k^2 - 1)^2 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1 $$
当 $k = \pm 1$ 时，$m^2 = 1^2 + 1 = 2$，即 $m = \pm \sqrt{2}$。
此时直线方程为 $y = x + m$ 或 $y = -x + m$。
我们需要确定 $m$ 的符号以满足“与 $x^2+y^2=1 (x>0)$ 相切”。
圆心到直线 $kx - y + m = 0$ 的垂足（切点）横坐标为 $x_0 = \frac{-k \cdot m}{k^2+(-1)^2} \cdot (-1)?$
更简单地，切点 $(x_0, y_0)$ 满足 $x_0^2+y_0^2=1$ 且 $y_0 = k x_0 + m$ 以及 $x_0 k - y_0 + m = 0$ 的法向量关系？
由点到直线距离公式推导切点：
直线 $kx - y + m = 0$，法向量 $\vec{n}=(k, -1)$。
切点 $P(x_0, y_0)$ 在圆上，且 $\vec{OP}$ 平行于法向量。
即 $(x_0, y_0) = \lambda (k, -1)$。
因 $x_0^2 + y_0^2 = 1$，$\lambda^2(k^2+1)=1 \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。
$x_0 = \frac{\pm k}{\sqrt{k^2+1}}$。
题目要求 $x_0 > 0$。
当 $k=1$ 时，$x_0 = \frac{\pm 1}{\sqrt{2}}$。取正号则 $x_0 > 0$，此时 $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$y_0 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。
代入直线方程 $y = x + m \implies -\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + m \implies m = -\sqrt{2}$。
此时直线为 $y = x - \sqrt{2}$，过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 即 $F$ 点。
当 $k=-1$ 时，$x_0 = \frac{\mp 1}{\sqrt{2}}$。取负号（使分子为正，因 $k=-1$）?
$x_0 = \frac{-(-1)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ 对应 $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$?
若 $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$，则 $x_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}, y_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
代入 $y = -x + m \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} + m \implies m = \sqrt{2}$。
此时直线为 $y = -x + \sqrt{2}$，过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 即 $F$ 点。
综上，当 $|MN|=\sqrt{3}$ 时，直线 $MN$ 必过点 $F(\sqrt{2}, 0)$，即 $M, N, F$ 三点共线。
充分性成立。

综上所述，$M, N, F$ 三点共线的充要条件是 $|MN| = \sqrt{3}$。