已知椭圆C的方程为 x ^ 2 a ^ 2 + y ^ 2…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【答案】① ${ \frac { x ^ { 2 } } { 3 } } + y ^ { 2 } = 1$ ；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】①由离心率公式可得 $a = { \sqrt { 3 } }$ ，进而可得 $b ^ { 2 }$ ，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证 $\left| M N \right| = \sqrt { 3 }$ ；

充分性：设直线 $M N : y = k x + b , \left( k b < 0 \right)$ ，由直线与圆相切得 $b ^ { 2 } = k ^ { 2 } + 1$ ，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得 ${ \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \cdot { \frac { { \sqrt { 2 4 k ^ { 2 } } } } { 1 + 3 k ^ { 2 } } } = { \sqrt { 3 } }$ ，进而可得 $k = \pm 1$ ，即可得解.

【详解】①由题意，椭圆半焦距 $c = { \sqrt { 2 } }$ 且 $e = { \frac { c } { a } } = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } }$ ，所以 $a = { \sqrt { 3 } }$

又 $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 1$ ，所以椭圆方程为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 3 } } + y ^ { 2 } = 1$

> ②由①得，曲线为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( x > 0 )$

当直线MN的斜率不存在时，直线 $M N : x = 1$ ，不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设 $M \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , N \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线 $M N : y = k \left( x - { \sqrt { 2 } } \right)$ 即 $k x - y - { \sqrt { 2 } } k = 0$

由直线MN与曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( x > 0 )$ 相切可得 ${ \frac { \left| { \sqrt { 2 } } k \right| } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } } = 1$ ，解得 $k = \pm 1$

联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { y = \pm { \Big ( } x - { \sqrt { 2 } } { \Big ) } } \\ { \qquad \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$ 可得 $4 x ^ { 2 } - 6 { \sqrt { 2 } } x + 3 = 0$ ，所以 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = { \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } } , x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = { \frac { 3 } { 4 } }$

所以 $\vert M N \vert = \sqrt { 1 + 1 } \cdot \sqrt { \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } } = \sqrt { 3 }$

所以必要性成立；

充分性：设直线MN: $y = k x + b , \left( k b < 0 \right)$ 即 $k x - y + b = 0$

由直线MN与曲线 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( x > 0 )$ 相切可得 $\frac { \left| b \right| } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } = 1$ ，所以 $b ^ { 2 } = k ^ { 2 } + 1$

联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} } \right.$ 可得 $\left( 1 + 3 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } + 6 k b x + 3 b ^ { 2 } - 3 = 0$

所以 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { \frac { 6 k b } { 1 + 3 k ^ { 2 } } } , x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = { \frac { 3 b ^ { 2 } - 3 } { 1 + 3 k ^ { 2 } } }$

所以 $\left| M N \right| = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \sqrt { \left( - \frac { 6 k b } { 1 + 3 k ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 4 \cdot \frac { 3 b ^ { 2 } - 3 } { 1 + 3 k ^ { 2 } } } .$

$$ { \bf \tau } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \frac { \sqrt { 2 4 k ^ { 2 } } } { 1 + 3 k ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } { \bf \tau } , $$

化简得 $3 { \left( k ^ { 2 } - 1 \right) } ^ { 2 } = 0$ ，所以 $k = \pm 1$

所以 $\left\{ \begin{array} { l } { k = 1 } \\ { b = - { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ { \begin{array} { l } { k = - 1 } \\ { b = { \sqrt { 2 } } } \end{array} } \right.$ ，所以直线 $M N : y = x - { \sqrt { 2 } }$ 或 $y = - x + \sqrt { 2 }$

所以直线MN过点 $F ( { \sqrt { 2 } } , 0 )$ ，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是 $\mid M N \mid = \sqrt { 3 }$

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.