（14分）如图，在四棱锥 P ~ - ~ A B C D…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【分析】（Ⅰ）推导出 $B D \bot P A , B D \bot A C$ ，由此能证明 $B D \perp$ 平面 PAC

（Ⅱ）推导出 $A B \bot A E , P A \bot A E$ ，从而AE⊥平面 PAB，由此能证明平面 $P A B \perp$ 平面PAE

（Ⅲ）棱 PB 上是存在中点 F，取AB 中点 G，连结 GF，CG，推导出 CG∥AE，FG∥PA，从而平面CFG∥平面PAE，进而CF∥平面PAE

【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥 $P \cdot A B C D$ 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，$\therefore B D \bot P A , B D \bot A C ,$

$\because P A \cap A C = A , ~ \therefore B D _ { - }$ ⊥平面 $P A C .$

（Ⅱ）∵在四棱锥 $P \textrm { - } A B C D$ 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，

E 为 CD 的中点， $\angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$

∴AB⊥AE，PA⊥AE，

$\because P A \cap A B { = } A , ~ \land { \dotsc } A E { \bot }$ 平面 PAB，

$\because A E \subset$ 平面PAE，∴平面 $P A B \bot$ 平面 $P A E$

解：（Ⅲ）棱PB 上是存在中点F，使得CF∥平面PAE

理由如下：取AB 中点G，连结GF，CG，

∵在四棱锥 $P \cdot A B C D$ 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，

∴CG∥AE，FG∥PA，

∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，

∴平面 CFG∥平面PAE，

$\because C F { \subset } \cdot$ 平面 CFG，∴CF∥平面 PAE

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题