记VABC 是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；② $\cos \angle A B C = \frac { 7 } { 1 2 }$

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 $B D = { \frac { a c } { b } }$ ，结合已知即可证结论.

> ②由题设 $B D = b , A D = \frac { 2 b } { 3 } , D C = \frac { b } { 3 }$ ，应用余弦定理求 $\cos \angle A D B \ , \ \cos \angle C D B$ ，又$\angle A D B = \pi - \angle C D B$ ，可得 $2 a ^ { 2 } + \frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 1 b ^ { 2 } } { 3 }$ ，结合已知及余弦定理即可求 $\cos \angle A B C$

【详解】

> ①由题设， $B D = { \frac { a \sin C } { \sin \angle A B C } }$ ，由正弦定理知： $\frac { c } { \sin C } = \frac { b } { \sin \angle A B C }$ ，即 $\frac { \sin C } { \sin \angle A B C } = \frac { c } { b }$ $\therefore B D = { \frac { a c } { b } }$ ，又 $b ^ { 2 } = a c$

$\therefore B D = b$ ，得证.

> ②由题意知： $B D = b , A D = \frac { 2 b } { 3 } , D C = \frac { b } { 3 }$

∴ $\mathrm { ~ , ~ c o s ~ \ } \angle A D B = { \frac { b ^ { 2 } + { \frac { 4 b ^ { 2 } } { 9 } } - c ^ { 2 } } { 2 b \cdot { \frac { 2 b } { 3 } } } } = { \frac { \frac { 1 3 b ^ { 2 } } { 9 } - c ^ { 2 } } { \frac { 4 b ^ { 2 } } { 3 } } }$ ，同理 $\cos \angle C D B = { \frac { b ^ { 2 } + { \frac { b ^ { 2 } } { 9 } } - a ^ { 2 } } { 2 b \cdot { \frac { b } { 3 } } } } = { \frac { \displaystyle { \frac { 1 0 b ^ { 2 } } { 9 } } - a ^ { 2 } } { \displaystyle { \frac { 2 b ^ { 2 } } { 3 } } } }$

$$ \because \angle A D B = \pi - \angle C D B $$

$\therefore \frac { \frac { 1 3 b ^ { 2 } } { 9 } - c ^ { 2 } } { \frac { 4 b ^ { 2 } } { 3 } } = \frac { a ^ { 2 } - \frac { 1 0 b ^ { 2 } } { 9 } } { \frac { 2 b ^ { 2 } } { 3 } }$ ，整理得 $2 a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = { \frac { 1 1 b ^ { 2 } } { 3 } }$ ，又 $b ^ { 2 } = a c$

$\therefore 2 a ^ { 2 } + \frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 1 b ^ { 2 } } { 3 }$ ，整理得 $6 a ^ { 4 } - 1 1 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 b ^ { 4 } = 0$ ，解得 $\frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 3 } \Re \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 }$

由余弦定理知： $\cos \angle A B C = \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } = \frac { 4 } { 3 } - \frac { a ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } }$

当 ${ \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 3 } }$ 时， $\cos \angle A B C = \frac { 7 } { 6 } > 1$ 不合题意；当 ${ \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = { \frac { 3 } { 2 } }$ 时， $\cos \angle A B C = \frac { 7 } { 1 2 }$

综上， $\cos \angle A B C = \frac { 7 } { 1 2 }$

【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及 $\angle A D B = \pi - \angle C D B$ 得到 $^ { a , b , c }$ 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求 $\cos \angle A B C$