（14分）（2015•浙江）在 ABC 中，内角 A，B，…_2015浙江高考数学第16题答案解析 | 高考真题检索

Question

16．（14分）（2015•浙江）在 $	riangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $	an \left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{A}ight)=2$ ．
（I）求 $\frac{\sin 2 \mathrm{~A}}{\sin 2 \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}}$ 的值；
（II）若 $B=\frac{\pi}{4}, a=3$ ，求 $	riangle A B C$ 的面积．

考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．
专题：解三角形．
分析：（I）由两角和与差的正切函数公式及已知可得 $	an \mathrm{A}$ ，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解。
（II）由 $	an \mathrm{A}=\frac{1}{3}, \mathrm{~A} \in(0, \pi)$ ，可得 $\sin \mathrm{A}, \cos \mathrm{A}$ ．又由正弦定理可得 b ，由 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(A+\frac{\pi}{4}ight)$ ，可得 $\sin C$ ，利用三角形面积公式即可得解．

Accepted Answer

解答：解：（ I ）由 $	an \left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{A}ight)=2$ ．可得 $	an \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ， 所以 $\frac{\sin 2 \mathrm{~A}}{\sin 2 \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{2 	an \mathrm{~A}}{2 	an \mathrm{~A}+1}=\frac{2}{5}$ ． （II）由 $	an \mathrm{A}=\frac{1}{3}, \mathrm{~A} \in(0, \pi)$ ，可得 $\sin \mathrm{A}=\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos \mathrm{~A}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ． 又由 $\mathrm{a}=3, \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}$ 及正弦定理 $\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}$ ，可得 $\mathrm{b}=3 \sqrt{5}$ ， 由 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(A+\frac{\pi}{4}ight)$ ，可得 $\sin C=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ． 设 $	riangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 S ，则 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{ab} \sin \mathrm{C}=9$ ． 点评：本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．

（14分）（2015•浙江）在 ABC 中，内角 A，B，…——2015 高考数学第 16 题答案解析

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