【解析】
方法一：（1）设椭圆半焦距为 $c$ ，则 $c^{2}=a^{2}-1$ 。
过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=c$ ，代入 $E$ 得 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1$ 。
所以 $y^{2}=1-\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}$ ．截得的弦长为 $\frac{2}{a}$ ，于是 $\frac{2}{a}=\sqrt{2}$ ，得 $a=\sqrt{2}, c=1$ ，故 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（2）（i）由（1）知 $E: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ．设 $P(x, y)$ ，因为 $B\left(0, y_{0}\right)$ ，且 $P$ 同时在 $A O$ 与 $G B$ 上，故存在实数 $\lambda$ ，使 $P=\lambda A$ ，即 $x=\lambda x_{0}, y=\lambda y_{0}$ 。
又 $P$ 在 $G B$ 上，可写成 $P=(1-\lambda) G+\lambda B$ ，于是 $x=(1-\lambda) t_{0}, y=\lambda y_{0}$ 。
由 $\lambda x_{0}=(1-\lambda) t_{0}$ ，得 $\lambda=\frac{t_{0}}{x_{0}+t_{0}}$ ，所以 $x=\frac{t_{0} x_{0}}{x_{0}+t_{0}}, y=\frac{t_{0} y_{0}}{x_{0}+t_{0}}$ 。
反解得 $x_{0}=\frac{t_{0} x}{t_{0}-x}, y_{0}=\frac{t_{0} y}{t_{0}-x}$ 。代入 $\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}=1$ ，得 $\frac{t_{0}^{2}}{\left(t_{0}-x\right)^{2}}\left(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\right)=1$ 。
故 $M$ 的方程为 $t_{0}^{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\right)=\left(t_{0}-x\right)^{2}$ ，其中实际轨迹满足 $y \neq 0$ 。
（ii）展开得 $\left(\frac{t_{0}^{2}}{2}-1\right) x^{2}+t_{0}^{2} y^{2}+2 t_{0} x-t_{0}^{2}=0$ ．
当 $t_{0}^{2}=2$ 时，$x^{2}$ 项消失，方程化为 $y^{2}+t_{0} x-1=0$ ，为抛物线，无中心点．
当 $t_{0}^{2} \neq 2$ 时，中心为 $C\left(\frac{2 t_{0}}{2-t_{0}^{2}}, 0\right)$ ，所以 $M$ 有中心点的充要条件是 $t_{0} \neq \pm \sqrt{2}$ ．
令 $X=x-\frac{2 t_{0}}{2-t_{0}^{2}}, Y=y$ ，则 $O$ 为平移后 $M^{\prime}$ 的中心。
若 $0<\left|t_{0}\right|<\sqrt{2}$ ，则 $M^{\prime}: \frac{\left(2-t_{0}^{2}\right)^{2}}{2 t_{0}^{4}} X^{2}-\frac{2-t_{0}^{2}}{t_{0}^{2}} Y^{2}=1$ ，所以 $M^{\prime}$ 为双曲线。
若 $\left|t_{0}\right|>\sqrt{2}$ ，则 $M^{\prime}: \frac{\left(t_{0}^{2}-2\right)^{2}}{2 t_{0}^{4}} X^{2}+\frac{t_{0}^{2}-2}{t_{0}^{2}} Y^{2}=1$ ，所以 $M^{\prime}$ 为椭圆．
方法二：（1）椭圆的通径长为 $\frac{2 b^{2}}{a}$ ，本题 $b=1$ ，所以 $\frac{2}{a}=\sqrt{2}$ ，从而 $a=\sqrt{2}, c=1, e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
（2）（i）用截距式更快．直线 $G B$ 的方程为 $\frac{x}{t_{0}}+\frac{y}{y_{0}}=1$ ，直线 $O P$ 与 $O A$ 同线，故 $\frac{y}{x}=\frac{y_{0}}{x_{0}}$当 $x \neq 0$ 时，两式相除整理得 $\frac{1}{x}=\frac{1}{t_{0}}+\frac{1}{x_{0}}$ ，且 $\frac{y}{x}=\frac{y_{0}}{x_{0}}$ ，于是 $x_{0}=\frac{t_{0} x}{t_{0}-x}, y_{0}=\frac{t_{0} y}{t_{0}-x}$ ；当 $x=0$ 时也对应同一公式。
代入 $E \frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}=1$ ，很快得到 $t_{0}^{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+y^{2}\right)=\left(t_{0}-x\right)^{2}$ ，即为 $M$ 的方程，实际轨迹满足 $y \neq 0$ 。
（ii）将方程变形为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=\left(1-\frac{x}{t_{0}}\right)^{2}$ ．
令 $X=\frac{x}{\sqrt{2}}, Y=y$ ，则 $X^{2}+Y^{2}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{t_{0}} X\right)^{2}$ 。
这就是以原点为焦点、准线为 $X=\frac{t_{0}}{\sqrt{2}}$ 、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{\left|t_{0}\right|}$ 的二次曲线。
所以 $\left|t_{0}\right|=\sqrt{2}$ 时为抛物线，无中心点；$t_{0} \neq \pm \sqrt{2}$ 时有中心点，中心为 $\left(\frac{2 t_{0}}{2-t_{0}^{2}}, 0\right)$ 。
平移到中心后，二次曲线形状不变，因此 $0<\left|t_{0}\right|<\sqrt{2}$ 时 $M^{\prime}$ 为双曲线，$\left|t_{0}\right|>\sqrt{2}$ 时 $M^{\prime}$为椭圆．