2017_天津卷 (2017·文)
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
| 连续剧播放时长（分钟） | 广告播放时长（分钟） | 收视人次（万） | |
|---|---|---|---|
| 甲 | 70 | 5 | 60 |
| 乙 | 60 | 5 | 25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 $x$ ，$y$ 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。
（I）用 $x$ ，$y$ 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【解答】
（13分）（ $2017 \cdot$ 天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时 ，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
| 连续剧播放时长（分钟） | 广告播放时长（分钟） | 收视人次（万） | |
|---|---|---|---|
| 甲 | 70 | 5 | 60 |
| 乙 | 60 | 5 | 25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍。分别用 $x$ ，$y$ 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。
（I）用 $x$ ，$y$ 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【分析】（ I ）直接由题意结合图表列关于 x ， y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（II）写出总收视人次 $z=60 x+25 y$ 。化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（I）解：由已知，$x$ ，$y$ 满足的数学关系式为 $\left\{\begin{array}{l}70 x+60 y \leqslant 600 \\ 5 x+5 y \geqslant 30 \\ x \leqslant 2 y \\ x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$, 即
$$ \left\{\begin{array}{l} 7 x+6 y \leqslant 60 \\ x+y \geqslant 6 \\ x-2 y \leqslant 0 \\ x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0 \end{array}\right. $$
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（II）解：设总收视人次为 $z$ 万，则目标函数为 $z=60 x+25 y$ ．
考虑 $\mathrm{z}=60 \mathrm{x}+25 \mathrm{y}$ ，将它变形为 $\mathrm{y}=\frac{12}{5} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{z}}{25}$ ，这是斜率为 $-\frac{12}{5}$ ，随 z 变化的一族平行直线．
$\frac{z}{25}$ 为直线在 $y$ 轴上的截距，当 $\frac{z}{25}$ 取得最大值时，$z$ 的值最大．
又 $\because x$ ，$y$ 满足约束条件，
∴ 由图可知，当直线 $z=60 x+25 y$ 经过可行域上的点 $M$ 时，截距 $\frac{z}{25}$ 最大，即 $z$ 最大
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}7 x+6 y=60 \\ x-2 y=0\end{array}\right.$ ，得点 $M$ 的坐标为 $(6,3)$ ．
∴ 电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多。
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．