2017 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $A=\{1,2,6\}, B=\{2,4\}, C=\{1,2,3,4\}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =(\quad)$

2．（5分）设 $x \in R$ ，则＂ $2-x \geqslant 0$＂是＂$|x-1| \leqslant 1$＂的

3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为

4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为 19 ，则输出 $N$ 的值为 

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线 的渐近线上，$\triangle \mathrm{OAF}$ 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为

6．（5分）已知奇函数 $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数．若 $a=-f\left(\log _{2} \frac{1}{5}\right), b=f\left(\log _{2} 4\right.$ ． 1），$c=f\left(2^{0.8}\right)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

7．（5分）设函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\phi), x \in R$ ，其中 $\omega>0,|\phi|<\pi$ ．若 $f\left(\frac{5 \pi}{8}\right. )=2, f\left(\frac{11 \pi}{8}\right)=0$ ，且 $f(x)$ 的最小正周期大于 $2 \pi$ ，则（ ）

8．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|+2, x<1 \\ x+\frac{2}{x}, x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ ，设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant \left|\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{a}\right|$ 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（）

9．（5分）已知 $a \in R$ ，$i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

10．（5分）已知 $a \in R$ ，设函数 $f(x)=a x-\ln x$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线为 1 ，则 1 在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$。

11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 $\_\_\_\_$。

12．（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）若a，$b \in R, a b>0$ ，则 $\frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in$ R），且 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-4$ ，则 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．（13分）在 $\triangle A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA $=4 b \sin B, a c=\sqrt{5}\left(a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)$. （I）求 $\cos \mathrm{A}$ 的值； （II）求 $\sin (2 B-A)$ 的值．

16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： | | 连续剧播放时长（分钟） | 广告播放时长（分钟） | 收视人次（万） | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 甲 | 70 | 5 | 60 | | 乙 | 60 | 5 | 25 | 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 $x$ ，$y$ 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。 （I）用 $x$ ，$y$ 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

17．（13分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A D \perp$ 平面 $P D C, A D / / B C, P D \perp P B$ ， $A D=1, \quad B C=3, \quad C D=4, \quad P D=2$ ． （I）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （II）求证：$P D \perp$ 平面 $P B C$ ； （III）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 

18．（13分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right),\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 $0, b_{2}+b_{3}=12, b_{3}=a_{4}-2 a_{1}, S_{11}=11 b_{4}$ ． （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）求数列 $\left\{a_{2 n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left(n \in N^{*}\right)$ 。

19．（14分）设 $a, b \in R,|a| \leqslant 1$ ．已知函数 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}-3 a(a-4) x+b, g (x)=e^{x f}(x)$. （I）求 $f(x)$ 的单调区间； （II）已知函数 $y=g(x)$ 和 $y=e^{x}$ 的图象在公共点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有相同的切线， （i）求证：$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的导数等于 0 ； （ii）若关于 x 的不等式 $\mathrm{g}(\mathrm{x}) \leqslant \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 在区间 $\left[\mathrm{x}_{0}-1, \mathrm{x}_{0}+1\right]$ 上恒成立，求 b 的取值范围。

20．（14分）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为F $(-c, 0)$，右顶点为 $A$，点 $E$ 的坐标为 $(0, c), \triangle E F A$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$． （1）求椭圆的离心率； （II）设点 Q 在线段 AE 上，$|\mathrm{FQ}|=\frac{3}{2} \mathrm{c}$，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 在 x轴上，$P M / / Q N$，且直线 $P M$ 与直线 $Q N$ 间的距离为 $c$，四边形 $P Q N M$ 的面积为 $3 c$． （i）求直线 $F P$ 的斜率； （ii）求椭圆的方程． # 2017年天津市高考数学试卷（文科）