抛物线 C y ^ 2 = 4 x 的准线为l，P为C上的…——2024 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ABD

【解析】

【分析】A 选项，抛物线准线为x= 1- ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P A B, , 三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 $\left| P B \right| = 2$ 先算出P的坐标，然后验证 $k _ { P A } k _ { A B } = - 1$ 是否成立；D 选项，根据抛物线的定义， $\left| P B \right| = \left| P F \right|$ ，于是问题转化成 $\left| P A \right| = \left| P F \right|$ 的P点的存在性问题，此时考察 $A F$ 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.

【详解】A 选项，抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的准线为 $x { = } - 1$

eA的圆心(0, 4) 到直线x= 1- 的距离显然是1，等于圆的半径，

故准线l和eA相切，A 选项正确；

B选项，P A B, , 三点共线时，即PA l^ ，则P的纵坐标 $y _ { \scriptscriptstyle P } = 4$

由 $y _ { P } ^ { 2 } = 4 x _ { P }$ ，得到 $x _ { \scriptscriptstyle P } = 4$ ，故 P(4, 4) ，

此时切线长 $\left| P Q \right| = \sqrt { \left| P A \right| ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = \sqrt { 4 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 1 5 }$ ，B选项正确；

C 选项，当 $\left| P B \right| = 2$ 时， $x _ { \scriptscriptstyle P } = 1$ ，此时 $y _ { P } ^ { 2 } = 4 x _ { P } = 4$ ，故 P(1, 2) 或 P(1, 2)- ，

当 P(1,2) 时， A B(0, 4), ( 1, 2)- ， $k _ { P A } = \frac { 4 - 2 } { 0 - 1 } = - 2$ $k _ { _ { A B } } = \frac { 4 - 2 } { 0 - ( - 1 ) } = 2$

不满足 $k _ { P A } k _ { A B } = - 1$ ；

当 P(1, 2)- 时， A B(0, 4), ( 1, 2)- ， $k _ { _ { P A } } = \frac { 4 - ( - 2 ) } { 0 - 1 } = - 6$ $k _ { _ { A B } } = \frac { 4 - ( - 2 ) } { 0 - ( - 1 ) } = 6$

不满足 $k _ { P A } k _ { A B } = - 1$ ；

于是 $P A \bot A B$ 不成立，C选项错误；

D 选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义， $\left| P B \right| = \left| P F \right|$ ，这里 F(1,0)，

于是 $\left| P A \right| = \left| P B \right|$ 时P点的存在性问题转化成 $\left| P A \right| = \left| P F \right|$ 时P点的存在性问题，

$A ( 0 , 4 ) , F ( 1 , 0 )$ $A F$ 中点 $\left( { \frac { 1 } { 2 } } , 2 \right)$ $A F$ 中垂线的斜率为 $- \frac { 1 } { k _ { _ { A F } } } = \frac { 1 } { 4 }$

于是AF 的中垂线方程为： $y = \frac { 2 x + 1 5 } { 8 }$ ，与抛物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 联立可得 $y ^ { 2 } - 1 6 y + 3 0 = 0$

$\Delta = 1 6 ^ { 2 } - 4 \times 3 0 = 1 3 6 > 0$ ，即 $A F$ 的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得 $\left| P A \right| = \left| P F \right|$ ，D 选项正确.

**方法二**：（设点直接求解）

设 $P \left( { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } , t \right)$ ，由 $P B \perp l$ 可得 $B \big ( - 1 , t \big )$ ，又 A(0,4) ，又 $\left| P A \right| = \left| P B \right|$

根据两点间的距离公式， ${ \sqrt { { \frac { t ^ { 4 } } { 1 6 } } + ( t - 4 ) ^ { 2 } } } = { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } + 1$ ，整理得 $t ^ { 2 } - 1 6 t + 3 0 = 0$

$\Delta = 1 6 ^ { 2 } - 4 \times 3 0 = 1 3 6 > 0$ ，则关于t的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D 选项正确.

故选：ABD