（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上——2009 高考数学第 16 题答案解析

【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定

【专题】14：证明题；16：压轴题

【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 $O M = O N = O P = O Q = \frac { 1 } { 2 }$ AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上

【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O

求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，

而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

$$ \therefore O M = O N = O P = O Q = \frac { 1 } { 2 } A B , $$

∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上

所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上

【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半