已知 tan α=- 1 3 , cos β= 5 5 ,…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
解：（1）由 $\cos \beta=\frac{\sqrt{5}}{5}, \beta \in(0, \pi)$
得 $\tan \beta=2, \sin \beta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
于是 $\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{-\frac{1}{3}+2}{1+\frac{2}{3}}=1$ ．
> （2）因为 $\tan \alpha=-\frac{1}{3}, \alpha \in(0, \pi)$
所以 $\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}, \cos \alpha=-\frac{3}{\sqrt{10}}$

$$ \begin{gathered} f(x)=-\frac{3 \sqrt{5}}{5} \sin x-\frac{\sqrt{5}}{5} \cos x+\frac{\sqrt{5}}{5} \cos x-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin x \\ =-\sqrt{5} \sin x \end{gathered} $$

$f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ ．