2018_北京卷
19．（13分）设函数 $f ( \mathbf { x } ) \ = \ [ \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 2 } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { 3 a } + 1 ) \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } + \mathbf { 3 a } + 2 ] \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } }$
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 f（x）在x=1 处取得极小值，求a的取值范围
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用；53：导数的综合应用
【分析】（Ⅰ）求得 f（x）的导数，由导数的几何意义可得 f′（2）=0，解方程可得a 的值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1， $0 { < } \mathsf { a } { < } 1$ ${ \mathfrak { a } } <$ 0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围
【解答】解：（Ⅰ）函数 $f ( \mathbf { x } ) \ = \ [ \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 2 } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { 3 a } + 1 ) \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } + \mathbf { 3 a } + 2 ] \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } }$ 的导数为$f ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = [ \mathbf { a x } ^ { 2 } \mathbf { \bar { \alpha } } ( \mathbf { a } + 1 \mathbf { \alpha } ) \mathbf { x } + 1 ] \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } }$
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，
可得 $\left( 4 \mathbf { a } - 2 \mathbf { a } - 2 + 1 \right) { \mathbf { e } } ^ { 2 } { = } 0$
解得 $\mathrm { a } { = } \frac { 1 } { 2 }$
（Ⅱ）f（x）的导数为 f′ $\mathrm { ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Sigma } = [ a x ^ { 2 } \cdot \partial \Sigma ^ { \mathrm { ( } \mathbf { a + } 1 \mathrm { ) } } \Sigma { \mathbf { x + } } 1 ] \mathbf { e ^ { x } } \mathrm { = \Sigma \left( \mathbf { x - \Sigma } 1 \right) \Sigma ( \mathbf { a x - \Sigma } 1 \mathrm { ) } } \mathbf { \Sigma } \mathrm { e ^ { x } } }$
若 a=0 则 $\mathbf { x } < 1$ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减x=1处f（x）取得极大值，不符题意；
若 a＞0，且 a=1，则 ${ \bf f } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ x ~ ) ~ } } = ( { \bf x } - 1 ) { \bf \zeta } ^ { 2 } { \bf e } ^ { \bf x } { \geq } 0$ ，f（x）递增，无极值；
若a＞1，则 $\frac { 1 } { \mathsf { a } } { < } 1$ ，f（x）在 $( \frac { 1 } { \mathsf { a } } , \mathsf { \Omega } _ { 1 } )$ 递减；在 $( 1 , \ + \infty ) , ( - \infty , \ \frac { 1 } { \tt a } )$ 递增，可得f（x）在x=1处取得极小值；
若 $0 { < } \mathsf { a } { < } 1$ ，则 $\frac { 1 } { \mathsf { a } } { > } 1$ ，f（x）在 $( 1 , \ \frac { 1 } { \tt a } )$ 递减；在 $( \frac { 1 } { \tt a } , \tt + \infty ) , ( - \infty , \tt 1 )$ 递增，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；
若 $\mathbf { a } { < } 0$ ，则 $\frac { 1 } { \mathsf { a } } { < } 1$ ，f（x）在 $( \frac { 1 } { \mathsf { a } } , \mathsf { \Omega } _ { 1 } )$ 递增；在 $( 1 , \ + \infty ) , ( - \infty , \ \frac { 1 } { \tt a } )$ 递减，
可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意
综上可得，a 的范围是 $( 1 , \ + \infty )$
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题