对二次函数 f ( x ) = a x ^ 2 + b x…——2015 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A

【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确， $f ^ { \prime } ( x ) = 2 a x + b$ ，因为1是f(x)的极值点，3是f(x)的极值，所以 $\left\{ \begin{array} { l l } { f ^ { \prime } ( 1 ) = 0 } \\ { f ( 1 ) = 3 } \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ { \begin{array} { l } { 2 a + b = 0 } \\ { a + b + c = 3 } \end{array} } \right.$ ，解得： $\left\{ { \begin{array} { l } { b = - 2 a } \\ { c = 3 + a } \end{array} } \right.$ ，因为点(2.8)在曲线 $y = f ( x )$ 上，所以$4 a + 2 b + c = 8$ ，即 $4 a + 2 \times ( - 2 a ) + a + 3 = 8$ ，解得：a=5，所以b=-10，c=8，所以$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 1 0 x + 8$ ，因为 $f \left( - 1 \right) = 5 \times \left( - 1 \right) ^ { 2 } - 1 0 \times \left( - 1 \right) + 8 = 2 3 \neq 0$ ，所以-1不是f(x)的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A.

【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值

【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理