（14分）如图，在三棱柱 ABC - A _ 1 ~B _…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】31：数形结合；41：向量法； 5 F ：空间位置关系与距离．
【分析】（I）证明 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BE}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{EF}$ 即可得出 $\mathrm{AC} \perp$ 平面 BEF ；
（II）建立坐标系，求出平面 BCD 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ ，通过计算 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{EB}}$ 的夹角得出二面角的大小；
（III）计算 $\overrightarrow{\mathrm{FG}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 的数量积即可得出结论。
【解答】（I）证明：$\because \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点，$\therefore \mathrm{EF} \| \mathrm{CC}_{1}$ ，
$\because \mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \therefore \mathrm{EF} \perp$ 平面 ABC ，
又 $\mathrm{ACC} \subset$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \therefore \mathrm{EF} \perp \mathrm{AC}$ ，
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}, \mathrm{E}$ 是 AC 的中点，
$\therefore \mathrm{BE} \perp \mathrm{AC}$ ，
又 $\mathrm{BE} \cap \mathrm{EF}=\mathrm{E}, \mathrm{BE} \subset$ 平面 $\mathrm{BEF}, \mathrm{EF} \subset$ 平面 BEF ，
$\therefore \mathrm{AC} \perp$ 平面 BEF ．
（II）解：以 E 为原点，以 $\mathrm{EB}, \mathrm{EC}, \mathrm{EF}$ 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 $\mathrm{B}(2,0,0), \mathrm{C}(0,1,0), \mathrm{D}(0,-1,1)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-2,1,0), \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(0,-2,1)$ ，
设平面 BCD 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0 \\ -2 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0\end{array}\right.$ ，
令 $y=2$ 可得 $\vec{n}=(1,2,4)$ ，又 $E B \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{EB}}=(2,0,0)$ 为平面 $\mathrm{CD}-\mathrm{C}_{1}$ 的一个法向量，
$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{EB}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}||\overrightarrow{\mathrm{EB}}|}=\frac{2}{\sqrt{21} \times 2}=\frac{\sqrt{21}}{21}$ ．
由图形可知二面角 B－CD－ $\mathrm{C}_{1}$ 为钝二面角，
∴ 二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{CD}-\mathrm{C}_{1}$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{21}}{21}$ ．
（III）证明： $\mathrm{F}(0,0,2), \overrightarrow{\mathrm{G}}(2,0,1), \therefore \overrightarrow{\mathrm{FG}}=(2,0,-1)$ ，

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{FG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=2+0-4=-2 \neq 0$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{FG}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 不垂直，
$\therefore \mathrm{FG}$ 与平面 BCD 不平行，又 $\mathrm{FG} \not \subset$ 平面 BCD ，
$\therefore \mathrm{FG}$ 与平面 BCD 相交．

【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．