2018 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}| | \mathrm{x} \mid<2\}, \mathrm{B}=\{-2,0,1,2\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

2．（5 分）在复平面内，复数 $\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ 的共轭复数对应的点位于（）

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（） 

4．（5 分）＂十二平均律＂是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[2]{2}$ ．若第一个单音的频率为 $f$ ，则第八个单音的频率为

5．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为  正（主）视图  侧（左）视图  俯视图

6．（5分）设 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 均为单位向量，则＂$|\vec{a}-3 \vec{b}|=|3 \vec{a}+\vec{b}|$＂是＂$\vec{a} \perp \vec{b}$＂的（）

7．（5 分）在平面直角坐标系中，记 d 为点 $\mathrm{P}(\cos \theta, \sin \theta)$ 到直线 $\mathrm{x}-\mathrm{my}-2=0$的距离．当 $\theta , \mathrm{~m}$ 变化时， d 的最大值为

8．（5 分）设集合 $\mathrm{A}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid \mathrm{x}-\mathrm{y} \geq 1, ~ \mathrm{ax}+\mathrm{y}>4, ~ \mathrm{x}-\mathrm{ay} \leq 2\}$ ，则（ ）

9．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为＿ $a_{n}=6 n-3$ 。

10．（5 分）在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta+\rho \sin \theta=a ~(a>0) ~$ 与圆 $\rho=2 \cos \theta$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ $1+\sqrt{2}$ ．

11．（ 5 分）设函数 $f(x)=\cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ ，若 $f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 对任意的实数 x 都成立，则 $\omega$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$ ．

12．（5 分）若 $x, y$ 满足 $x+1 \leq y \leq 2 x$ ，则 $2 y-x$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ 3 ．

13．（5 分）能说明＂若 $f(x)>f(0)$ 对任意的 $x \in(0,2]$ 都成立，则 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上是增函数＂为假命题的一个函数是 $\_\_\_\_$ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}$。

14．（5 分）已知椭圆 $M: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，双曲线 $N: \frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$ ．若双曲线 $N$ 的两条渐近线与椭圆 $M$ 的四个交点及椭圆 $M$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}-1$ ；双曲线 N 的离心率为 $\_\_\_\_$ 2 ．

15．（13 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=7, \mathrm{~b}=8, \cos \mathrm{~B}=-\frac{1}{7}$ ． （I）求 $\angle \mathrm{A}$ ； （II）求 AC 边上的高。

16．（14分）如图，在三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}$分别为 $\mathrm{AA}_{1}, \mathrm{AC}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}, \mathrm{BB}_{1}$ 的中点， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{5}, \mathrm{AC}=\mathrm{AA}_{1}=2$ ． （I）求证： $\mathrm{AC} \perp$ 平面 BEF ； （II）求二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{CD}-\mathrm{C}_{1}$ 的余弦值； （III）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交． 

17．（12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： | 电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 | | 好评率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 | 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （II）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （III）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等。用 ＂$\xi_{\mathrm{k}}=1$＂表示第 k 类电影得到人们喜欢。＂$\xi_{\mathrm{k}}=0$＂表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 $(\mathrm{k}=1,2,3,4,5,6)$ 。写出方差 $\mathrm{D} \xi_{1}, \mathrm{D} \xi_{2}, \mathrm{D} \xi_{3}, \mathrm{D} \xi_{4}, \mathrm{D} \xi_{5}, \mathrm{D} \xi_{6}$ 的大小关系。

18．（13 分）设函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(4 a+1) x+4 a+3\right] e^{x}$ 。 （I）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $(1, \mathrm{f}(1))$ 处的切线与 x 轴平行，求 a ； （II）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=2$ 处取得极小值，求 a 的取值范围．

19．（14 分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 经过点 $\mathrm{P}(1,2)$ ，过点 $\mathrm{Q}(0,1)$ 的直线 $l$与抛物线 C 有两个不同的交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y轴于 $N$ ． （I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围； （II）设 O 为原点， $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{QN}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{QO}}$ ，求证：$\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}$ 为定值。

20．（14 分）设 n 为正整数，集合 $\mathrm{A}=\left\{\alpha \mid \alpha=\left(\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots \mathrm{t}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{t}_{\mathrm{k}} \in\{0,1\}, \mathrm{k}=1\right.$ ， $2, \ldots, n\}$ ，对于集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 和 $\beta=\left(y_{1}\right.$ ， $\mathrm{y}_{2}, \ldots \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$ ），记 $\mathrm{M}(\alpha, \beta)=\frac{1}{2}\left[\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-\left|\mathrm{x}_{1}-\mathrm{y}_{1}\right|\right)+\left(\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2}-\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{y}_{2}\right|\right)+\ldots\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{y}_{\mathrm{n}}-\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right|\right)\right]$ （I）当 $n=3$ 时，若 $\alpha=(1, ~ 1, ~ 0), ~ \beta=(0, ~ 1, ~ 1)$ ，求 $M(\alpha, ~ \alpha)$ 和 $M(\alpha, \beta)$的值； （II）当 $\mathrm{n}=4$ 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 $\alpha, \beta$ ，当 $\alpha$ ， $\beta$ 相同时，$M(\alpha, \beta)$ 是奇数；当 $\alpha, \beta$ 不同时，$M(\alpha, \beta)$ 是偶数．求集合 $B$中元素个数的最大值； （III）给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 $\alpha, \beta, M(\alpha, \beta)=0$ ，写出一个集合 $B$ ，使其元素个数最多，并说明理由。