（14 分）如图，在三棱柱 A B C - A _ 1 B…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）证明 $\mathsf { A B \bot B _ { 1 } B C C } _ { 1 }$ ，可得平面 $\mathsf { A B E \bot B _ { 1 } B C C _ { 1 } }$

（2）证明 $\mathsf C _ { 1 } \mathsf F / /$ 平面 ABE，只需证明四边形 $\mathsf { F G E C } _ { 1 }$ 为平行四边形，可得 $\mathsf C _ { 1 } \mathsf F / / \mathsf E G$ ；

（3）利用 $V _ { E \mathrm { ~ - ~ } A B C } = \frac { 1 } { 3 } S \triangle A B C \bullet A A _ { 1 }$ ，可求三棱锥E﹣ABC的体积

【解答】解：（1）证明：∵三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，侧棱垂直于底面，$\therefore B B _ { 1 } \bot A B$

$\because A B \bot B C , B B _ { 1 } \cap B C = B , B B _ { 1 } , B C \subset$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$
$\therefore A B \bot$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$
$\because A B C$ 平面 ABE，
$\therefore$ 平面 $\mathsf { A B E \bot }$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$ （Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则$\because F$ 是BC 的中点，
$\therefore F G / / A C , F G = \frac { 1 } { 2 } A C ,$
$\because E$ 是 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的中点，
$\therefore F G / / E C _ { 1 } , F G = E C _ { 1 }$
$\therefore$ 四边形 $\mathsf { F G E C } _ { 1 }$ 为平行四边形，
$\therefore C _ { 1 } F / / \mathsf E G$
$\because C _ { 1 } \mathsf { F } \notin$ 平面 ABE， $\mathsf { E G C } \cdot$ 平面 ABE，
$\therefore C _ { 1 } \mathsf { F } / /$ 平面 ABE；

（3）解： $\because A A _ { 1 } = A C = 2 , B C = 1 , A B \bot B C$

$$ \therefore A B = { \sqrt { 3 } } , $$

$$ \therefore v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E - A B C } } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \scriptscriptstyle \triangle \mathrm { A B C } } \bullet \mathsf { A A } _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \times \ ( \frac { 1 } { 2 } \times \sqrt { 3 } \times 1 ) \ \times 2 = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } . $$

【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键