2008_quanguo_old_ii
11．（5分）设 $\triangle A B C$ 是等腰三角形， $\angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，则以A，B为焦点且过点C的双 曲线的离心率为（ A $\textstyle { \frac { 1 + { \sqrt { 2 } } } { 2 } }$ B $\textstyle { \frac { 1 + { \sqrt { 3 } } } { 2 } }$ C $1 + { \sqrt { 2 } }$ D $1 + \sqrt { 3 }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】根据题设条件可知 $2 c = \vert A B \vert$ ，所以 $\vert \mathtt { A C } \vert = 2 \times 2 \mathtt { c } \times \mathtt { s i n 6 0 } ^ { \mathbb { 0 } } = 2 \sqrt { 3 } \mathtt { c }$ ，由双曲线的定义能够求出2a，从而导出双曲线的离心率
【解答】解：由题意 $2 c = \vert A B \vert$ ，所以 $\vert \mathtt { A C } \vert = 2 \times 2 \mathtt { c } \times \mathtt { s i n 6 0 } ^ { \mathbb { 0 } } = 2 \sqrt { 3 } \mathtt { c }$ ，由双曲线的定义，有 $2 a = | \mathtt { A C } | - | \mathtt { B C } | = 2 \sqrt { 3 } \mathtt { c } \mathrm { - } 2 \mathtt { c } \Longrightarrow \mathtt { a } = ( \sqrt { 3 } \mathrm { - } 1 ) \mathtt { d }$ ，
$$ \therefore e = \frac { c } { a } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } - 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { 2 } $$
故选：B
【点评】本题考查双曲线的有关性质和双曲线定义的应用