2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·理) 第 4 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

Accepted Answer

C

【考点】KC：双曲线的性质； KH ：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题． 【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0 ，找到 a 和 b 的关系，从而推断出 a 和 c 的关系，答案可得。 【解答】解：由题双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{b x}{a}$ ， 代入抛物线方程整理得 $a x^{2}-b x+a=0$ ， 因渐近线与抛物线相切，所以 $b^{2}-4 a^{2}=0$ ， 即 $c^{2}=5 a^{2} \Leftrightarrow e=\sqrt{5}$ ， 故选：C． 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．

2009 高考数学第 4 题答案解析

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