（16）设函数 f ( x )= x - 1 x，对任意…——2010 高考数学第 18 题答案解析

【答案】 $\mathrm{m}<-1$
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知 $f(x)$ 为增函数且 $m \neq 0$
若 $m>0$ ，由复合函数的单调性可知 $f(m x)$ 和 $m f(x)$ 均为增函数，此时不符合题意。
$\mathrm{M}<0$ ，时有 $m x-\frac{1}{m x}+m x-\frac{m}{x}<0 \Rightarrow 2 m x-\left(m+\frac{1}{m}\right) \bullet \frac{1}{x}<0 \Rightarrow 1+\frac{1}{m^{2}}<2 x^{2}$ 因为 $y=2 x^{2}$

在 $x \in[1,+\infty)$ 上的最小值为 2 ，所以 $1+\frac{1}{m^{2}}<2$ 即 $m^{2}>1$ ，解得 $\mathrm{m}<-1$ ．
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

2010年天津文高考数学解析

1．A解析：本题考查了复数的基本运算。

$$ \frac{3+i}{1-i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+4 i}{2}=1+2 i $$

2．B
解析：本题考查了线性规划的基础知识。作出可行域与图中阴影，则 A 点为最优解，∵ $\left\{\begin{array}{l}x+y=3 \\ y=1\end{array}, \therefore\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}, \therefore\right.$
$z_{\text {max }}=10$

3．B 解析：本题考查了算法的流程图的基础知识。列出表格可得

∴ 输出 $s=0$
4． C 解析：本题考查了函数与方程的基础知识，$\because f(-1)=e^{-1}-1-2<0$ ， $f(0)=1-2<0, f(1)=e+1-2>0, \therefore$ 函数的零点所在区间 $(0,1)$

5．A解析：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的基础知识。 $\because$ 当 $m=0$ 时 $f(x)$ 为偶函数 ，但不是任何 $m$ 值都能使 $f(x)$ 为偶函数 ∵ A正确，C不正确；∵ 不论 $m$ 为何值都没有 $f(-x)=f(x), \therefore \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 不正确，

6．C解析：本题考查了函数的单调性、对数函数的性质等基础知识。 ∵
$0<\log _{5} 3<1,0<\log _{5} 4<1, \log _{4} 5>1, \therefore c>a, c>b, \because 0<\log _{5} 3<1,0<\log _{5} 4<1$ ，

$\because \log _{5} 3<\log _{5} 4, \quad \therefore \log _{5} 3<\left(\log _{5} 4\right)^{2}, \quad \therefore a>b$
7．C解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法等基础知识。 ∵
$A=\{x \mid-1+a8．A解析：本题考查了三角函数的解析式、图象变换及性质的基础知识。由图象可知周期 $\mathrm{A}=1, \because T=\frac{5 \pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\pi, T=\frac{2 \pi}{\omega}, \therefore \omega=2, \because$ 过点 $\left(1, \frac{\pi}{12}\right)$ ，代入解析式得 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ ，解析式为 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right), \because y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，可得 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，故选 A 。
（9）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$A D \perp A B, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=$
（A） $2 \sqrt{3}$
（B）$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（C）$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（D）$\sqrt{3}$

9．D解析：本题考查了向量的基本运算及向量的数量积的运算
。 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{AB}, \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A D}=0, \because \sqrt{3} \overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A D}=\sqrt{3}|\overrightarrow{A D}||\overrightarrow{B D}| \cos \angle A D B=\sqrt{3}$ ，
$\therefore \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A D}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A D}=\sqrt{3}$ ，故选D
另法：（特例检验法）不妨取 $|\overrightarrow{B D}|=2$ ，则 $|\overrightarrow{B C}|=2 \sqrt{3}, \angle A D B=\frac{\pi}{3}$ ，
$\therefore \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A D}=2 \sqrt{3} \times 1 \times \cos \frac{\pi}{3}+0=\sqrt{3}$ ，故选 D
10．D解析：本题考查了分段函数的值域、不等式的解法及函数图象等基本知识。
$\because f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x+2 & x2 \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} & -1 \leq x \leq 2\end{array}\right.\right.$ ，
∴ 当 $x<-1$ 或 $x>2, f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}>2$ ，
当 $-1 \leq x \leq 2$ 时，$f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} \in\left[-\frac{9}{4}, 0\right]$
11．$\frac{1}{3}$ 解析：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形判定及性质的基础知识，$\because \mathrm{A}$ ，
$\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ， D 四点共圆，$\therefore \angle P B C=\angle D, \angle B P C=\angle D P A, \therefore \triangle \mathrm{PBC} \sim \triangle \mathrm{PDA}, \therefore$
$\frac{P B}{P D}=\frac{B C}{A D}=\frac{1}{3}$
12． 3 解析本题考查了立体几何的三视图的知识，从三视图可得该几何体为底面为梯形的直四棱柱，其中梯形的上下底分别为 1 ， 2 高为 2 ，棱柱的高为 1 ，体积为

$2 \times \frac{1}{2} \times(1+2) \times 1=3$
13．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 解析：本题考查了双曲线的标准方程、双曲线的性质、抛物线的性质等基础知识。 ∵ 抛物线 $y^{2}=16 x$ ，焦点为 $(4,0), \therefore c=4, \because$ 双曲线的渐近线方程 $y=\sqrt{3} x, \therefore$双曲线设为 $\frac{x^{2}}{\lambda}-\frac{y^{2}}{3 \lambda}=1(\lambda>0), \lambda+3 \lambda=16, \lambda=4, \therefore$ 双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

14．$(x+1)^{2}+y^{2}=2$ 解析：本题考查了直线、圆的标准方程及直线与圆的位置关系，点到直线的距离的基础知识，$\because$ 直线 $x-y+1=0$ 与 $x$ 轴交于 $(-1,0), \because$ 圆心 $\mathrm{C}(-1,0)$ 到直线 $x+y+3=0$ 的距离为 $r=\frac{|-1+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, \therefore$ 圆方程为 $(x+1)^{2}+y^{2}=2$ 。
15．4解析：本题考查了等比数列的通项、前 $n$ 项和、基本不等式的基础知识。 ∵
$T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}$
$\therefore T_{n}=\frac{16-17 q^{n}+q^{2 n}}{(1-q) q^{n}}=\frac{1}{1-\sqrt{2}}\left(\frac{16}{q^{n}}-17+q^{n}\right) \leq \frac{1}{1-\sqrt{2}}\left(2 \sqrt{\frac{16}{q^{n}} \cdot q^{n}}-17\right)$ ，当且仅当
$\frac{16}{q^{n}}=q^{n}, \quad \therefore q^{2 n}=16,2^{n}=16, n=4$
16．$(-\infty,-1)$ 解析：本题考查了函数的值域、不等式解法、不等式的恒等变形及不等式恒成立的基础知识。 $\because f(m x)+m f(x)<0$ 恒成立，$\therefore 2 m x-\frac{1}{m x}-\frac{m}{x}<0, x \in[1,+\infty)$ ， $2 m x^{2}<\frac{1}{m}+m$,
当 $m<0$ 时，$\because 2 x^{2}>\frac{1}{m^{2}}+1$ 恒成立，$\therefore\left(2 x^{2}\right)_{\min }>\frac{1}{m^{2}}+1,2>\frac{1}{m^{2}}+1, \therefore m>1$ 或 $m<-1$ ，又 $m<0, \therefore m<-1$ 。
当 $m>0$ 时， $2 x^{2}<\frac{1}{m^{2}}+1$ 恒成立，由 $x \in[1,+\infty)$ ，所上式不可能恒成立，
所以 $m<-1$