2010 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+i}{1-i}=$

（2）设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 3, \\ x-y \geq-1 \text { ，则目标函数 } \mathrm{z}=4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y} \text { 的最大值为 } \\ y \geq 1,\end{array}\right.$

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为

（4）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=e^{x}+x-2$ 的零点所在的一个区间是

（5）下列命题中，真命题是

（6）设 $a=\log _{5} 4, b=\left(\log _{5} 3\right)^{2}, c=\log _{4}{ }^{5}$ ，则

（7）设集合 $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}| | \mathrm{x}-\mathrm{a} \mid<1, \mathrm{x} \in \mathrm{R}\}, B=\{x \mid 1<x<5, x \in R\}$ ．若 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\varnothing$ ，则实数 a 的取值范围是

（8）右图是函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi) \quad(x \in R)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的图象上所有的点

（9）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$A D \perp A B, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=$

（10）设函数 $g(x)=x^{2}-2(x \in R)$ ， $f(x)=\left\{\begin{array}{c}g(x)+x+4, x<g(x) \\ g(x)-x, x \geq g(x)\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的值域是

（10）设函数 $g(x)=x^{2}-2(x \in R), f(x)=\left\{\begin{array}{c}g(x)+x+4, x<g(x) \\ g(x)-x, x \geq g(x)\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的值域是

（11）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P 。若 $\mathrm{PB}=1, \mathrm{PD}=3$ ，则 $\frac{B C}{A D}$ 的值为

（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 $\_\_\_\_$ 

（13）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3} x$ ，它的一个焦点与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的焦点相同。则双曲线的方程为 $\_\_\_\_$。

（14）已知圆 C 的圆心是直线 $\mathrm{x}- y+1=0$ 与 $x$ 轴的交点，且圆 $C$ 与直线 $x+y+3=0$ 相切。则圆 $C$ 的方程为 $\_\_\_\_$  正视图  俯视图

（15）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，公比 $q=\sqrt{2}, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}$ 为 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和。记 $T_{n}=\frac{17 S_{n}-S_{2 n}}{a_{n+1}}, n \in N^{*}$ ．设 $T_{n_{0}}$ 为数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 的最大项，则 $n_{0}=$  侧视图 $\_\_\_\_$。

（16）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-$ $\frac{1}{x}$ ，对任意 $\mathrm{x} \in[1,+\infty), \mathrm{f}(\mathrm{mx})+\mathrm{nf}(\mathrm{x})<0$ 恒成立，则实数 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$

（16）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-$ $\frac{1}{x}$ ，对任意 $x \in[1,+\infty), f(m x)+m f(x)<0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

（17）（本小题满分 12 分） 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\frac{A C}{A B}=\frac{\cos B}{\cos C}$ 。 （I）证明 $\mathrm{B}=\mathrm{C}$ ： （II）若 $\cos A=-\frac{1}{3}$ ，求 $\sin \left(4 \mathrm{~B}+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

（18）（本小题满分 12 分） 有编号为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots \mathrm{~A}_{10}$ 的 10 个零件，测量其直径（单位： cm ），得到下面数据： | 编号 | $\mathrm{A}_{1}$ | $\mathrm{~A}_{2}$ | $\mathrm{~A}_{3}$ | $\mathrm{~A}_{4}$ | $\mathrm{~A}_{5}$ | $\mathrm{~A}_{6}$ | $\mathrm{~A}_{7}$ | $\mathrm{~A}_{8}$ | $\mathrm{~A}_{9}$ | $\mathrm{~A}_{10}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 直径 | 1.51 | 1.49 | 1.49 | 1.51 | 1.49 | 1.51 | 1.47 | 1.46 | 1.53 | 1.47 | 其中直径在区间 $[1.48,1.52]$ 内的零件为一等品。 （I）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （II）从一等品零件中，随机抽取 2 个。 （i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ii）求这 2 个零件直径相等的概率。

（19）（本小题满分12分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形， $\mathrm{FA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BC} \| \mathrm{AD}, \mathrm{CD}=1$ ， $\mathrm{AD}=2 \sqrt{2}, \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$ ． （I）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； （II）证明 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 ABF ； （III）求二面角B－EF－A的正切值。 

（20）（本小题满分12分） 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=a x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+1(x \in R)$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ． （I）若 $\mathrm{a}=1$ ，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（2， $\mathrm{f}(2))$ 处的切线方程； （II）若在区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 上， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ 恒成立，求 a 的取值范围．

（21）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． （I）求椭圆的方程； （II）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，已知点 A 的坐标为 $(-\mathrm{a}, 0)$ ． （i）若 $|\mathrm{AB}|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角； （ii）若点 $\mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在线段 AB 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{\mathrm{QA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=4$ ．求 $\mathrm{y}_{0}$ 的值．

（22）（本小题满分 14 分） 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=0$ ，且对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k-1}, a_{2 k}, a_{2 k+1}$ 成等差数列，其公差为 $2 k$ ． （I）证明 $\mathrm{a}_{4}, \mathrm{a}_{5}, \mathrm{a}_{6}$ 成等比数列； （II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （III）记 $T_{n}=\frac{2^{2}}{a_{2}}+\frac{3^{2}}{a_{3}}+\cdots+\frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2}<2 \mathrm{n}-\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \leq 2(\mathrm{n} \geq 2)$ ． ## 2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）