某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A.

【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为x，y，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为a，则 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( 2 a ) ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 }$，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知 $\frac { a } { 1 } = \frac { 2 - h } { 2 } \Rightarrow h = 2 - 2 a$，而长方体的体积 $V = x y h \leq \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 } h = 2 \alpha ^ { 2 } h = 2 \alpha ^ { 2 } ( 2 - 2 \alpha )$ $\leq 2 \times ( { \frac { a + a + 2 - 2 a } { 3 } } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = { \frac { 1 6 } { 2 7 } }$，当且仅当 $x = y$ $\alpha = 2 - 2 \alpha \Rightarrow \alpha = \frac { 2 } { 3 }$ 时，等号成立，此时利用率为${ \frac { { \frac { 1 6 } { 2 7 } } } { { \frac { 1 } { 3 } } \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 } } = { \frac { 8 } { 9 \pi } }$，故选A.

【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.

【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.

二．填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分.