如图，在极坐标系 O x 中，A(2,0)， B ( 2…——2019 高考数学第 22 题答案解析

【答案】① $\rho = 2 \cos \theta ( \theta \in [ 0 , \frac { \pi } { 4 } ] ) , \rho = 2 \sin \theta ( \theta \in [ \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } ] ) , \rho = - 2 \cos \theta ( \theta \in [ \frac { 3 \pi } { 4 } , \pi ] )$

> ② $( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 6 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 5 \pi } { 6 } )$

【解析】

【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.

(2)根据条件 $\rho { = } \sqrt { 3 }$ 逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.

【详解】①由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.

$$ M _ { 1 } : \rho = 2 \cos \theta ( \theta \in [ 0 , \frac { \pi } { 4 } ] ) , $$

$$ M _ { 2 } : \rho = 2 \cos ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) = 2 \sin \theta ( \theta \in [ \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } ] ) , $$

$$ M _ { 3 } : \rho = 2 \cos ( \theta - \pi ) = - 2 \cos \theta ( \theta \in [ \frac { 3 \pi } { 4 } , \pi ] ) . $$

(2)解方程 $2 \cos \theta = \sqrt { 3 } ( \theta \in [ 0 , \frac { \pi } { 4 } ] )$ 得 $\theta = \frac { \pi } { 6 }$ ，此时P的极坐标为 $( { \sqrt { 3 } } , { \frac { \pi } { 6 } } )$

解方程 $2 \sin \theta = \sqrt { 3 } ( \theta \in [ \frac { \pi } { 4 } , \frac { 3 \pi } { 4 } ] )$ 得 $\theta = { \frac { \pi } { 3 } }$ 或 $\theta = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，此时P的极坐标为 $( { \sqrt { 3 } } , { \frac { \pi } { 3 } } )$ 或 $( { \sqrt { 3 } } , { \frac { 2 \pi } { 3 } } )$

解方程 $- 2 \cos \theta = \sqrt { 3 } ( \theta \in [ \frac { 3 \pi } { 4 } , \pi ] )$ 得 $\theta = \frac { 5 \pi } { 6 }$ ，此时P的极坐标为 $( \sqrt { 3 } , \frac { 5 \pi } { 6 } )$

故P的极坐标为 $( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 6 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 } ) , ( \sqrt { 3 } , \frac { 5 \pi } { 6 } )$

【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.