（本小题满分 13 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域。点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 $A$ 。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 $45^{\circ}$ 且与点 $A$ 相距 40 $\sqrt{2}$ 海里的位置 B ，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 $45^{\circ}+\theta$（其中 $\sin \theta=\frac{\sqrt{26}}{26}$ ， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ ）且与点 $A$ 相距 $10 \sqrt{13}$ 海里的位置 $C$.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

解：（I）如图，$A B=40 \sqrt{2}, \mathrm{AC}=10 \sqrt{13}$ ，

$$ \angle B A C=\theta, \sin \theta=\frac{\sqrt{26}}{26} . $$

由于 $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ ，所以 $\cos \theta=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{26}}{26}\right)^{2}}=\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ ．
由余弦定理得 $\mathrm{BC}=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos \theta}=10 \sqrt{5}$ ．
所以船的行驶速度为 $\frac{10 \sqrt{5}}{\frac{2}{3}}=15 \sqrt{5}$（海里／小时）．
（II）解法一 如图所示，以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，设点 $B , C$ 的坐标分别是 $B\left(x_{1}, y_{2}\right), C\left(x_{1}, y_{2}\right)$ ， $B C$ 与 $x$ 轴的交点为 $D$ ．

由题设有，$x_{1}=y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{AB}=40$ ，

$$ \mathrm{x}_{2}=A C \cos \angle C A D=10 \sqrt{13} \cos \left(45^{\circ}-\theta\right)=30, $$

$\mathrm{y}_{2}=A C \sin \angle C A D=10 \sqrt{13} \sin \left(45^{\circ}-\theta\right)=20$ ．
所以过点 $B , C$ 的直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{20}{10}=2$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=2 x-40$ ．
又点 $E(0,-55)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|0+55-40|}{\sqrt{1+4}}=3 \sqrt{5}<7$ ．
所以船会进入警戒水域。

解法二：如图所示，设直线 $A E$ 与 $B C$ 的延长线相交于点 $Q$ ．在 $\triangle A B C$ 中，由余弦定理得，
$\cos \angle A B C=\frac{A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}}{2 A B \cdot B C}$
$=\frac{40^{2} \times 2+10^{2} \times 5-10^{2} \times 13}{2 \times 40 \sqrt{2} \times 10 \sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.
从而 $\sin \angle A B C=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle A B C}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．
在 $\triangle A B Q$ 中，由正弦定理得，

$\mathrm{AQ}=\frac{A B \sin \angle A B C}{\sin \left(45^{\circ}-\angle A B C\right)}=\frac{40 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2 \sqrt{10}}{10}}=40$.
由于 $A E=55>40=A Q$ ，所以点 Q 位于点 $A$ 和点 $E$ 之间，且 $Q E=A E-A Q=15$ ．
过点 $E$ 作 $E P \perp B C$ 于点 $P$ ，则 $E P$ 为点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离．
在Rt $\triangle Q P E$ 中，$P E=Q E \cdot \sin \angle P Q E=Q E \cdot \sin \angle A Q C=Q E \cdot \sin \left(45^{\circ}-\angle A B C\right)$

$$ =15 \times \frac{\sqrt{5}}{5}=3 \sqrt{5}<7 $$

所以船会进入警戒水域。