（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【专题】11：计算题

【分析】（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立，在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，用事件分别表示为 $\mathsf { I A } { = } \mathsf { A } _ { 1 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 1 } { + } \mathsf { A } _ { 2 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 1 } { + } \mathsf { A } _ { 2 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 2 }$ ，且这三种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到结果

（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到结果

【解答】解：记 $\mathsf { A } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 2 }$ 分别表示甲击中9环，10环， $\mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { \beta } _ { 2 }$ 分别表示乙击中8环，9环，

A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，

$\mathsf C _ { 1 } , ~ \mathsf C _ { 2 }$ 分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数

（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立

在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，

用事件分别表示为 $\mathsf { A } { = } \mathsf { A } _ { 1 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 1 } { + } \mathsf { A } _ { 2 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 1 } { + } \mathsf { A } _ { 2 } { \bullet } \mathsf { B } _ { 2 }$ ，且这三种情况是互斥的，

根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到

$$ \therefore P ( A ) = P ( A _ { 1 } \bullet B _ { 1 } + A _ { 2 } \bullet B _ { 1 } + A _ { 2 } \bullet B _ { 2 } ) = P ( A _ { 1 } \bullet B _ { 1 } ) + \ P ( A _ { 2 } \bullet B _ { 1 } ) + \ P ( A _ { 2 } \bullet B _ { 2 } ) $$

$$ \begin{array} { r } { = \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 1 } ) \bullet \mathsf { P } ( \mathsf { B } _ { 1 } ) + \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 2 } ) \bullet \mathsf { P } ( \mathsf { B } _ { 1 } ) + \mathsf { P } ( \mathsf { A } _ { 2 } ) \bullet \mathsf { P } ( \mathsf { B } _ { 2 } ) } \end{array} $$

$$ = 0 . 3 \times 0 . 4 + 0 . 1 \times 0 . 4 + 0 . 1 \times 0 . 4 = 0 . 2 . $$

（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，即 ${ \mathsf { B } } { = } { \mathsf { C } } _ { 1 } { + } { \mathsf { C } } _ { 2 }$

$$ \because P \mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ ( ~ C ~ _ { 1 } ~ ) ~ } ~ } = \mathsf { C } _ { 3 } ^ { 2 } \left[ \mathsf { P } \mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ ( ~ A ~ ) ~ } ~ } \right] ^ { 2 } \left[ \mathbf { 1 } - \mathsf { P } \mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ ( ~ A ~ ) ~ } ~ } \right] = \mathsf { 3 } \times \mathsf { 0 } . 2 ^ { 2 } \times \mathrm { ~ \mathcal ~ { ~ ( ~ 1 ~ - ~ 0 . 2 ~ ) ~ } ~ } = 0 . 0 9 6 , $$

$$ { \mathsf { P } } ( { \mathsf { C } } _ { 2 } ) = \left[ { \mathsf { P } } ( { \mathsf { A } } ) \right] { \mathsf { { \mathsf { 3 } } } } = 0 . 2 ^ { 3 } = 0 . 0 0 8 , $$

$$ { \mathrm { : } } \mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ B ~ ) ~ } } = \mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ C _ { 1 } + C _ { 2 } ) ~ } } = \mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ C _ { 1 } ) ~ } + \mathsf { P } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ C _ { 2 } ) ~ } } = 0 . 0 9 6 + 0 . 0 0 8 = 0 . 1 0 4 . } $$

【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，包括应用互斥事件和相互独立事件的概率，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，这是可以作为一个解答题的题目，是一个典型的概率题