2013_退役省自主命题 (2013·文)
18．（本小题满分 12 分）
小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 0 为起点，再从 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$（如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向
量的数量积为 $X$，若 $X>0$ 就去打球，若 $X=0$ 就去唱歌，若 $X<0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。
(1) $-2,-1,0,1$; (2) $\frac{7}{15}, \frac{11}{15}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
［答案］①$-2,-1,0,1$；②$\frac{7}{15}, \frac{11}{15}$
［解析］（1）依题意有
$\overrightarrow{O A_{1}}=(1,0), \overrightarrow{O A_{2}}=(1,-1), \overrightarrow{O A_{3}}=(0,-1), \overrightarrow{O A_{4}}=(0,1), \overrightarrow{O A_{5}}=(-1,1), \overrightarrow{O A_{6}}=(-1,0)$，
$\therefore \overrightarrow{O A_{1}} \cdot \overrightarrow{O A_{2}}=\overrightarrow{O A_{2}} \cdot \overrightarrow{O A_{3}}=\overrightarrow{O A_{4}} \cdot \overrightarrow{O A_{5}}=\overrightarrow{O A_{5}} \cdot \overrightarrow{O A_{6}}=1(4 \uparrow), \overrightarrow{O A_{1}} \cdot \overrightarrow{O A_{5}}=\cdots=\overrightarrow{O A_{3}} \cdot \overrightarrow{O A_{6}}=-1(6 \uparrow)$， $\overrightarrow{O A_{1}} \cdot \overrightarrow{O A_{3}}=\cdots=0(4$ 个 $), \overrightarrow{O A_{2}} \cdot \overrightarrow{O A_{5}}=-2(1$ 个 $), \therefore X=-2,-1,0,1$．
> ②由①知基本事件有 15 种，小波下棋有 7 神，所以其的概率为 $\frac{7}{15}$。不唱歌的概室为 $P=1-P(X=0)=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$．把平面向量和概率综合在一起增加了解题的难度，所以通过计算向量的数量积，列举随机变量 X 的取值不能够轻视，同时计算相应取值的概率十是值得细心去做的。
［ 考点定位］本题主要考查互斥事件、互斥事件的概率、对立事件的概率，考查平面向量的概念和运算等基础知识和方法；考查综合分析、综合运用能力和计算能力。