2009_省自主命题（陕西）
19．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 $\mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 中，AB=1， $\scriptstyle \mathbf { A C } = \mathbf { A A } _ { 1 } =$ ${ \sqrt { 3 } } , \ \angle \mathrm { A B C = } 6 0 ^ { \circ }$
（1）证明： $\mathrm { \bf A B \bot A _ { 1 } C } _ { \mathrm { \ell } }$
（2）求二面角 $\mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } ]$ B的余弦值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定
【专题】计算题；证明题
【分析】（1）欲证 $\mathrm { \ A B \bot A _ { 1 } C }$ ，而 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } \mathbf { C }$ 平面 $\mathrm { { A C C } _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，可先证AB⊥平面 $\mathrm { { A C C } _ { 1 } \mathrm { { A } _ { 1 } } }$ ，根据三棱柱 $\mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 为直三棱柱，可知 $\mathsf { 1 A B \bot A A _ { 1 } }$ ，由正弦定理得 $\mathrm { { A B \bot A C } }$ ，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作 $\mathbf { A D \bot A _ { 1 } C }$ 交 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } \mathbf { \mathcal { F } } \mathbf { D }$ 点，连接BD，由三垂线定理知 $\mathrm { B D \bot A _ { 1 } C }$ ，则 $\angle \mathrm { A D B }$ 为二面角A$- \operatorname { A } _ { 1 } \mathbf { C } \mathrm { ~ - ~ } \mathbf { B }$ 的平面角，在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { B A D }$ 中，求出二面角 $\mathbf { A } - \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } - \mathbf { B }$ 的余弦值即可
【解答】解：（1）证明：∵三棱柱 $\mathrm { A B C } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 }$ 为直三棱柱， $\therefore \mathrm { A B \bot A A _ { 1 } }$ ，在 $\triangle \mathrm { A B C } ^ { \prime }$ 中，AB=1， ${ \mathrm { A C } } { = } { \sqrt { 3 } } , \ \angle { \mathrm { A B C } } { = } 6 0 ^ { \circ }$ ，由正弦定理得 $\angle A C B = 3 0 ^ { \circ }$
$\therefore \angle B A C = 9 0 ^ { \circ }$ ，即 $\mathrm { { A B \bot A C } }$
$\therefore \mathrm { A B \perp }$ 平面 $\mathbf { A C C } _ { 1 } \mathbf { A } _ { 1 }$
又 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } \mathbf { C }$ 平面 $\mathrm { { A C C } _ { 1 } A _ { 1 } }$
∴AB⊥ $. \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C }$
（2）如图，作 $\mathrm { { A D \bot A _ { 1 } C } }$ 交 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } \mathbf { \mathcal { F } } \mathbf { D }$ 点，连接BD，
由三垂线定理知 $\mathrm { \Delta B D \bot A _ { 1 } C }$
$\therefore \angle A D B$ 为二面角 $\mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } ^ { - } \mathbf { E }$ 的平面角
在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { A A _ { 1 } C }$ 中， ${ \mathrm { A D } } { = } \frac { \mathbb { A } \mathbb { A } _ { 1 } { \cdot } \mathbb { A } \mathbb { C } } { \mathbb { A } _ { 1 } \mathbb { C } } { = } \frac { \sqrt { 3 } { \times } \sqrt { 3 } } { \sqrt { 6 } } { = } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } ,$
在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { B A D }$ 中， $\tan \angle A D B = \frac { \tt A B } { \tt A D } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } ,$
$$ \therefore \cos \angle A D B = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 } } , $$
即二面角 $\mathbf { A } - \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } - \mathbf { B }$ 的余弦值 $\mathcal { H } \frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 } .$
【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题