2021_省自主命题（重庆）
18．如图所示，一直角棱镜ABC， $\angle \mathbf { A } { = } 9 0 ^ { \circ }$ $\mathbf { A } { \boldsymbol { C } } = 1$ 。从AB边界面垂直入射的甲、乙两种不同频率的单色光，在棱镜中传播速度分别为 $\mathbf { k } _ { 1 } \mathbf { c }$ 和 $\mathbf { k } _ { 2 } \mathbf { c } \left( 0 { < } \mathbf { k } _ { 1 } { < } \mathbf { k } _ { 2 } { < } 1 \right.$ ，c 为真空中
的光速），甲光第一次到达BC 边恰好发生全反射。求：
（1）该棱镜分别对甲光和乙光的折射率；
②BC 边的长度。
见解析
【分析】（1）根据光在介质中的传播速度与折射率关系解得；
（2）根据全反射临界角公式结合几何关系解得。
【解答】解：（1）由光速与折射率的关系 $n = \frac { c } { y }$ ，可得该棱镜对甲光的折射率 $n _ { 1 } = \frac { 1 } { k _ { 1 } }$ 该棱镜对乙光的折射率 $n _ { 2 } = \frac { 1 } { k _ { 2 } }$
> ②设 BC 边的长度为 L，根据题述甲光第一次到达 BC 边恰好发生全反射，可画出光路图
根据全反射临界条件有： $\sin \theta = \frac { 1 } { n _ { 1 } } = k$ 1
根据几何关系有： $\mathtt { c o s C = s i n \theta }$
$$ \cos C = \frac { 1 } { L } $$
联立解得： $L = \frac { 1 } { k _ { 1 } }$
答：（1）该棱镜分别对甲光为 $\frac { 1 } { \mathbf { k } _ { 1 } }$ ，乙光的折射率为 $\frac { 1 } { \mathbf { k } _ { 2 } }$ ；
> ②BC 边的长度为 $\frac { 1 } { { \bf k } _ { 1 } }$
【点评】解决该题的关键是正确作出光路图，能根据几何知识求解光在介质中传播的长度和相关的角度，熟记折射定律的表达式以及光速的求解公式。