（10分）在 A B C，内角A、B、C的对边长分别为a、…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HR：余弦定理

【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据$a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 2 b$ 即可得到答案

【解答】解：法一：在 $\triangle \sf A B C \boxed { 1 } \because \sin A c o s C = 3 c o s A s i n C$

则由正弦定理及余弦定理有：

$$ a ^ { \bullet } \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } = 3 \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } \bullet c , $$

化简并整理得： $2 ( { \mathsf { a } } ^ { 2 } - { \mathsf { c } } ^ { 2 } ) = { \mathsf { b } } ^ { 2 }$

又由已知 $a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 2 b \therefore 4 b = b ^ { 2 }$

解得b=4或b=0（舍）；

法二：由余弦定理得： $\mathtt { a } ^ { 2 } - \mathtt { c } ^ { 2 } = \mathtt { b } ^ { 2 } - 2 \mathtt { b } \mathtt { c } \mathtt { c } \mathtt { o } \mathtt { s } \mathtt { A }$

又 $\cdot \mathsf { a } ^ { 2 } \mathbin { - } \mathsf { c } ^ { 2 } \mathop { = } 2 \mathsf { b } , \mathsf { b } \not = 0$

所以 $b { \mathsf { = } } 2 { \mathsf { c c o s A } } { \mathsf { + } } 2 { \widehat { \mathsf { ( 1 ) } } } { \mathsf { X } } { \mathsf { s i n A c o s C } } { \mathsf { = } } 3 { \mathsf { c o s A s i n C } } ,$

$$ \therefore \sin \mathsf { A c o s C } + \cos \mathsf { A s i n C } = 4 \cos \mathsf { A s i n C s i n } ( \mathsf { A } + \mathsf { C } ) = 4 \cos \mathsf { A s i n C } , $$

即 $\sin B = 4 \cos A \sin C$ 由正弦定理得 $\mathtt { s i n B = \frac { b } { c } s i n c }$

故 $\mathsf { b } { = } 4 \mathsf { c c o s } \mathsf { A } \textcircled { 2 }$ 由①，②解得b=4

【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题